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1、二次根式的乘法与除法一、学习要求会用积的算术平方根，商的算术根的性质化简二次根式。二、例题分析第一阶梯例1填空(1) dS-25=石病毒成立的条件是(2) J(2+工)(3二力二5工成立的条件是.提示：1、而有意义的条件是什么？2、同时满足两个条件的情况如何用数学语言表示？3、不等式组的解如何确定？(1)x5(2)-2x0,而二忑忑是在一定条件下才成立的，不能单单理解为只要ab0就有上式成立。因为式子要求不仅需要等式左边有意义，同时需要右边的也与、西同时有意义，所以题目要求应为a0,b0时等式石了二而区成立。这样，我们知道题目的解法应为：着十5之0月d-5(1)5%I即：当下三5时，-25=6
2、+5-J彳-5成立2+x0x-2.2WE3-k之0x3BP：当-2WrW3时，J(2+x)(3-力-J24K.73-x成立同时，在解题过程中，应注意不等式组的解法。例2选择题成立的条件是(D) x2(A)-1x2(B)-1x2(C)x0,除式b0,于是式（a0,b0）可以用来求分式（或分数）的算术平方根。这样题目的解法应为：另外，在解不等式组时，其解集的确定应为几个不等式解集的公共部分例3化简（1）廊（2）心久3之6小）717J-g3（4）歹（工之0）提示：i、被开方数是什么形式时，可以使用二次根式的性质向二而而？2、当a0时，如何化简?3、被开方数是多项式时应该如何处理？解；(1)=716x
3、3=716=4J3J1%=4-/二卜口忖而二小忑(3)V172-82=+8)(17-8)=7259=725x75=5x3=15(4)材+广尸口=(#+)=4+/=1J炉+/说明：当被开方数是单项式时，把被开方数分解因式，利用二次根式的性质而二石指，把能开得尽方数移到根号外面。当被开方数是多项式时，首先把每个多项式分解为因式乘积形式,再运用积的算术平方根的性质及关系式而（a0）化简。注意：被开方数含有因式x2+y2不是完全平方式，所以不能开平方。化简二次根式的步骤是：1、把被开方数分解因式（或因数）使其变为因式积的形式。2、应用积的算术平方根的性质把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或
4、因数）的算术平方根的积。3、如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式后（a0）,把这个因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简。4、化简的最后结果，应使二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数）的指数都小于2。第二阶梯例1化简：（1） 6（2）J1）提示：1、被开方数是带分数时，如何使用二次根式的性质品?2、被开方数的分子或分母是两个因式的乘积形式时怎么化简?说明：被开方数是带分数，首先要把它化为假分数，再根据商的算术平方根的性质化简。被开方数的分子是乘积的形式，可以变形为8r=儿再运用商与积的算术平方根的性质，把原式化简。形如丫阳（n0,m0）的二次根式的化简的步骤是:利用商的算术平方根的
5、性质，把式子旧化为第2、当被开方数的分子或分母是两个因式（或因数）之时，应利用积的算术平方根的性质，分别将五及赤化简。例2计算(3)(5)区/日5 + 5 Ji/（-指）有（2）4-提示：1、二次根式的乘法法则是什么？除法法则是什么？2、有理数乘法中的符号法则在实数范围内有什么不同吗?3、二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质有什么不同?解；(1)=-72x3x3=-/2xV?=-32（2） (用三0)=-mp-w2=二叫限= /24 = 722x6 二月x痛;2几疝入展，寒黑=|而=|在炉亭说明:把式子族=石指(a0,b0)反过来，得到：石痣二而(a0,b0),这是二次根式的乘法法则，用语
6、言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根，这个法则成立的条件是a0,b0,运用这个法则可以进行二次根式的乘法运算。把式子(a0, b0)反过来，得到：金打(a0,b0),这是二次根式的除法法则，运用这个法则可以进行二次根式的除法运算。在进行二次根式的乘除法运算时，把两个二次根式中的根号外面的数与被开方数分别相乘(或相除)然后取其积。这是因为在实数一章里，我们已经明确了，有理数的运算法则和运算律，在实数范围内也成立，如乘法的交换律及结合律等。在运算中应注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用因此，第（1）小题的运算结果应为负号。运用二次根式的乘法法则进行简单
7、的二次根式的乘法运算步骤是：1、运用法则把因式的算术平方根的积化为因式的积的算术平方根。2、如果被开方数是平方式（或平方数），可运用式子,卮（a0）把它移到根号外面，使二次根式中的被开方数没有平方式（或平方数）。二次根式的除法法则是由商的算术平方根的性质矗（a0,b0）得到的，二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质所表示的式子是相反方向。第（3）小题还可以有以下两种解法：例3计算和x后(2)；j2m2+Amn)(3)痛痒麻(4)-J3a“b/2ab提示：1、二次根式乘法中的符号如何确定?2、运算结果被开方数有什么要求?3、乘、除的混合运算应按照什么规律进行?4、被开方数中的分母如何去掉?=L
8、必 Q = 7a2=x 飞斤二4万（2） -Jim （-J2.。+4附典）=-y（2阳。+4附用-J2瑰, 2弹伽+ 2咫）=-脚尸（辟+ 2用）一匕2%而方=一除痴+ 2题（3）-后 + J4K解法一：模式=/18 -解法二：原式=%位-M =-2忑五十收丁说明：第（1）题在运算中注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。第（2）题根据二次根式的乘法法则及乘法运算律，在运算中应注意，先把第二个被开方数分解因式，运算结果中，被开方数不含能开得尽方的因数及完全平方式。第（3）题运用二次根式的乘法法则，按题中所给出的先后顺序进行计算，最后将所得到的二次根式化简，使被开方数中不含分母，
9、也不含开得尽方的因式或因数。在解法二中，只要把被开方数的分母变为平方数，就可去掉分母的根号。-2第（4）题，此题由原式得到式子V动后，也可以将被开方数中的分子与分母分别乘以3b,直接化去分母的根号。在进行二次根式的除法运算时分母有理化可以采取下面两种方法：1、把分子与分母都乘以同一个代数式，化去分母的根。2、把被开方数中的分子与分母都乘以同一个因式（或因数），使被开方数的分母变成平方式（或平方数），再化去分母的根号。第三阶梯例1化简J/f提示：1、题中的隐含条件是什么？2、被开方数应整理为什么形式可以达到化简的目的？3、如何化简|x-y|?4、式子石狗二石瓦成立的条件是什么?解；ylx2-y2
10、卜-y=-yW-y)=|x-yx+y由题意:有；c三口二.原式=(，-W工+y说明:这道题是二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则可以判断出x-y0,被开方数是多项式时，应注意把它们分解因式，运用积的算术平方根的性质而二而必(a0,b0)把因式的积的算术平方根化简，在运算中注意使用它”(a0)把被开方数的因式(或因数)能开得尽方的移到根号外面。例2计算，回十用6+2#透十1后+1提示：1、可以写成哪两个二次根式的积?2、题目的分子、分母有什么特点？3、此题可以采用什么解法?解法一;解法二二原式二函+也乂朋一1)(6+2后-1)、(V2+1X./2-1)(T3+1)(J3-D二屈一2M2=213
11、-+2-3=3、8向十J5(J5+D。2#(J5+d1尿丸二产+7=.支+1员1说明:解法一采用了分母有理化的方法，这种方法的计算量大，而且容易出错，解法二利用ab-,&1（I至0,匕学0）,将与6分别为=”,月V2，6=23回使题目的分子分别整理为十J5二%修（在+1）,痣+2的二2力（的十1）,然后利用约分技巧，筒化了二次根式的计算，在二次根式的运算中，一些特殊形式的二次根式可以采用一些特殊的方法以便达到茴化运算的目的.例3填空：化蔺：正应+”电也-7的值等于提示：1、5/+7与5亚-7有什么特点？2、根据题目中被开方数的特点，可以采取什么方法进行化蔺？I如一=参考答案：2说明:解：设5位
12、+J=工，5北一则小y二（50+7）（5我-7）=1x-y=（5血+7）-（5/2-7）=14设E=Vv则尸=甑一而y=X-y-3忝出班一出A-,y=14工y=1二遍皆二V二i=14-3S?+3i-14=0（/-2）（?+2r+7）=0r+2s+7.j-2=口T无解J砧A-十1-V5V2-7的于2、检测题1、J；=（72-1）=-J4z；（一A）=512争2疝+4-3而）=Q2，-=-2ayP5b成立的条件是3、化简一一Jx6-2y4-x4y3=4、 工一y5、计算J4+J”后答案：j4+22j-41t14(71、2252、a53、a0b04、x3(xy)-K-1)5、解法一：设金=v+Ji5+-VTs则/印+、历+2-15+4-厉=8+2=1。小=M艮心+疝+J”岳=解法二；6十历J后8+2户18-25=-T（V5+出+、行J3）C=，1口
