数的产生和发展

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1、人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理 性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。 比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了 3头，就放3块石子。结绳记事也是地球上许多相隔很近的 古代人类共同做过的事。我国古书易经中有结绳而治的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计 算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就 逐渐形成数的概念和记数的符号。世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、& 9、0,人们称之为阿拉伯数字。实

2、际上它们是古代印度人最早 使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧 洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。数的概念最初不论在哪个地区都是从1、2、3、4这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相 同。比如古代埃及的记数符号是，用古埃及的记数符号表示345，古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂 钟上还常常使用。它们是这样的：你能从这些数字的实例中找出罗马数字写法的规律吗？实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I （代表1）、V （代表5）、X （代表10）、L （代表50）、C代表100）、 D （代表500）、M （代表1,000）。这7个符号

3、位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按 照下列规律组合起来，就能表示任何数：1. 重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如: III表示3； XXX表示30。2. 右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如VI 表示6，DC 表示600。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数 字的数目，如IV 表示4，XL 表示40，VD 表示495。3. 上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：表示 15,000，表示165,000。我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数

4、的符号，不过难写难认，后人没有沿 用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法-筹算。 筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着 筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字：从算筹数码中没有10这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要 进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为 在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有零，遇到零就空 位。比如6708

5、，就可以表示为丄丁。数字中没有零，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆 在空位上，以免弄错，这或许与零的出现有关。不过多数人认为，0这一数学符号的发明应归功于公元 6世纪的印度人。他们最早用黑点（）表示零，后来逐渐变成了0。说起0的出现，应该指出，我国古代文字中，零字出现很早。不过那时它不表示空无所有，而只 表示零碎、不多的意思。如零头、零星、零丁。一百零五的意思是：在一百之外，还有一个 零头五。随着阿拉数字的引进。105恰恰读作一百零五，零字与0恰好对应，零也就具有了0的 含义。如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有0。其实在公元5世纪时，0已经传入罗马。但罗马 教皇凶残而且守旧。他不

6、允许任何使用0。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用0的一些好处和说 明，就被教皇召去，施行了拶（zan）刑，使他再也不能握笔写字。但0的出现，谁也阻挡不住。现在，0已经成为含义最丰富的数字符号。0可以表示没有，也可以 表示有。如：气温 ，并不是说没有气温；0是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂 等于 1； 0！=1 （零的阶乘等于1）除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、 十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。现在世界通用的数码 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称

7、之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印 度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值 记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5 个人分4 件东西，每个人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400 多年！自然数、分数和 零，通称为算术数。自然数也称为正整数。随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降 向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负

8、数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数 和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大约2500 年前的希腊，那里有一个 毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为数是万物的本源，支配整个自然界和 人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是 指整数。分数的出现，使数不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。 但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1 与 2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以

9、表示它。如果设这个数为X,既然，推导的结果即。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为，根据勾 股定理，可见边长为 1 的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？ 又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使 毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规 定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了 鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率就是最重要的一个。人们把它们写成n、等形式

10、，称它们为无理数。有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的 程度。这时人类的历史已进入19 世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的 发现了。但在解方程的时候常常需要开平方，如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学 运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号 表示-1的平方根，即，虚数就这样 诞生了。成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 的形式（a、b均为实数），这就是 复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥 缈。随着科学的发展，虚

11、数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数 的科学家眼中，虚数一点也不虚了。数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了， 数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了四元数的概念。 所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量（实数）和一个向量（其中 、 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对多元数理 论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高 峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为 狭义数，把向量、张量、矩阵等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概 念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。