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1、概率知识要点一、随机事件的概率 1 事件的有关概念（1）必然事件：一般地，把在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。 简称必然事件（2）不可能事件：把在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。简称不可能事件（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。 （4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。简称随机事件（5）事件及其表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、B、C,表示2 随机试验对于随机事件，知道它的发生可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验 一
2、个试验如果满足下述条件：（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；（3）每次试验总是出现这些结果中的一个， 但是一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果 我们称这样的试验为随机试验3 频数、频率和概率（1）频数：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数。 （2）频率：在相同条件S下重复n次试验，时间A出现的比例称为事件A出现的频率（3）概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 4 事件的运算关系 定义符号表示包含关系对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发
3、生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）相等关系若，则称事件A与事件B相等A=B并事件（和事件）某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。交事件（积事件）某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。5 互斥事件与对立事件（1）互斥 事件A与事件B互斥：为不可能事件，即I，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。 （2）对立 事件A与事件B互为对立事件：为不可能事件，为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。 6 概率的几个基本性质 （1）.（2）必然事件E的概率为1 ，即 =.（3）不可能事件F的概率为0. 即 =. （4）若事件A与事件B互斥时，P(AB)=P
4、(A)+P(B)概率的加法公式。 （5）事件B与事件A互为对立事件，则AB为必然事件， 所以P(AB)=P(A)+P(B)=1，从而P(A)=1 - P(B) 二、古典概型1、古典概型的概念（1）基本事件一次试验中可能出现的每一个结果陈为一个基本事件（2）基本事件的特点任何两个基本事件都是互斥的，一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件。基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和（3）古典概型的定义试验中所以可能出现的基本事件只有有限个每个基本事件出现的可能性相等我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，检查古典概型。古典概型是
5、一种特殊的概率模型，其特征有两个：有限性；等可能性2、古典概型的概率计算公式一般地，如果一次试验中共有n种等可能的结果，那么每一个基本事件发生的概率都是，如果事件A包含的结果有m个，那么事件A发生的概率三、几何概型 1、基本概念： （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： （3）几何概型的特点： 无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；等可能性：每个基本事件出现的可能性相等四、条件概率与相互独立事件同时发生的概率1、条件概率(1)条件概率的定义：设A,B为两个事件，在已
6、知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率记作,读作“A发生的条件下B的概率”注意：已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求相当于把A看做新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即(2)条件概率的性质如果B和C事两个互斥事件，则2、事件的独立性（1）相互独立事件设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即=P(B),这是我们称两个事件A,B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。一般地，当事件A,B相互独立时，A与,与B, 与也都相互独立3、独立重复试验（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中某事件发生的概率均相等。（2）在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，k=1,2,n
