谈简易逻辑中命题的否定

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1、数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑的 关系和推理论证。全日制普通高级中学教科书（试验本）数学的新 教材第一册（上）的第一章新增“简易逻辑”内容，介绍一些简单而又实 用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻 辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断是非能力和推理能力，提 高数学思维能力。由于新增内容，对于高一新生来说是较为抽象，在理解上尚一定 难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们在线教师不熟悉，知识上 存在一定缺陷。至此本人根据自已参与新教材的教学实践，谈谈如何来 构造比较合理的命题的否定，供师生们参考。首先我们要理解好命题否定“非”的认识。“

2、非”命题是对原命题结论的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题 “非P”（记作r P”）称为命题的否定。“非P”叫做命题P的非命题，也 叫做命题P的否定。“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为 一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题。但“非P”绝不是“是”与“不是” 的简单演译。简易逻辑一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型：单称命题 的否定即简单命题的否定，存在性命题的否定，全称性命题的否定，复 合命题“P且q”、“P或q”的否定。下面 试述：1 简单命题的否定在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或 “并非P是q”。其中P是一个特定对

3、象。例 1 写出下列命题的否定。（1）是有理数。（2）菱形的对角线互相垂直。（3） N x R | x-2.（ 4 ） 方程 =1 没有实数根。解:（1）的否定： 不是有理数。 或者是并非 是有理数。（2）的否定：菱形的对角线不互相垂直。（3）的否定：N x R | x-2。（4）的否定：方程=1有春3的实数根。2复合命题“P且q”； “P或q”形式的否定。给定命题P、q,用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题 P、q的合取命题（也叫联言命题）。记作P q.用联结词“或”来构成的复 合命题“P或q”叫做命题P、q的析取命题（也叫选言命题）。记作P q。它的否定可以通过真值表来：（“1

4、”表示真，“0”表示假）PqPqPqn(P q) n (P q) n P n q n P n q11110000100110010101100100001111从表可知：(P q)与P n q的真值相同；(P q)与P n q的 真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“P且q“的否定为：“非 P或非q”； “P或q”的否定为“非P且非q”。用符号语言表示：n (P q)= n P n q n (P q)= n P n q从而知命题“P q”和“P q”的否定：既否定命题P,q；又改变联结词。例 2 写出下列命题的否定。(1) a=5。(2) f(x)=0 既是奇函数又是偶函数。(3) 5

5、是10的约数且是15的约数。(4) 2+2=5或32O(5) 的否定：ABCD 或 ABCDo(6) 的否定：“a,b不都是0”或者“aO或bO”。可见回应了原命题与其否定命题是一对矛盾命题。3复合命题“若P则q”形式的否定。“若P则q”(记作P q)型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。当语句P和q能判断其真假时就成为命题，那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系，其否定形式不妨用真值表来解决。(用“1”表示真， “0表示假)P q n q P q n P q n (P q) P (n q) P (n

6、q)1 1 0 1 1 0 0 0101001110 1 0 1 1 0 0 10 0 1 1 1 0 0 1从表可知，“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故 是等价命题。我们就此认为：命题”若P则q”的否定为“P且非q”，且习 惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.用符号语言 表示：n (P q)= P(i q)或 r (P q)=P q) = P (n q)例 3 写出下列命题的否定。( 1)若 x2+y2=0， 则 x, y 全为 0。(2) 若 x=2 或 x=-1 则 x2-x-2=0.(3) 若集合B真包含集合A,则集合A包含于集合Bo解：(1

7、)的否定：虽然x2+y2=0，但是x和y不全为0。(2) 的否定：虽然 x=2 或 x=1，但 x2-x-20.o(3) 的否定：尽管集合B真包含集合A,然而集合A不包含于集合 Bo但在教学中发现有些师生把例3的答案写成：(1)若x2+y2=0, 则x, y不全为0。(2)若x=2或x=-1，则x2-x-20.是不对的。它误把 若P则q的否定命题认为是“条件P不变，结论q否定，且联结词不变 的命题”。即为(P q)= P (n q)。实际上，原命题与否定命题应属于矛 盾命题，而“若P则非q”与“若P则q”构成对立关系的命题；另方面从 真值表可知，当 P 为假时，它们的真值都为真，故不可成为矛盾

8、命题， 因此n (P q)WP (n q)例如“若2是奇数，则7是奇数”与“若2是奇数， 则 7 不是奇数”都为真命题。希教学中切实注意它们的区别。4 含量词命题的否定。数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一 个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在 逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ”与“ ”来表 示)；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。那么 它的否定又怎么样？一般地，全称命题P： x A,有P (x)成立；其否定命题nP为：x A,使P (x)不成立。存在性命题P： x A,使P (x)

9、成立；其否定命 题n P为：x A,有P (x)不成立。用符号语言表示：非( x) p(x) =( x)非 p(x)非(x)p(x)=( x)非 p(x)在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存 在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循 下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定 否定得肯定.例 4 写出下列命题的否定。(1) 所有自然数的平方是正数。(2) 任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根。(3)对任意实数x,存在实数y,使x+yO.( 4) 有些质数是奇数。解；( 1)的否定：有些自然数的平方不是正数。(2) 的否定：

10、存在实数x不是方程5x-12=0的根。(3) 的否定：存在实数x,对所有实数y,有x+yWO。(4) 的否定：所有的质数都不是奇数。但解题中会遇到省略了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,如 “若x3，则x29”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下 时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出其否定形式。例 5 写出下列命题的否定。(1) 若 x24 则 x2.。(2) 若mNO,则J x2+x-m=0有实数根。(3) 可以被5 整除的整数,末位是0.。(4) 被8整除的数能被4 整除。(5) 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。解(1)的否定：存在实数x0，虽然满足x024但x0

11、2.o或者说: 存在小于或等于2的数x0,满足x024。(完整表达为对任意的实数x,若 x2 4 则 x 2)(2) 的否定：虽然实数mNO,但存在一个xO,使x02+ x0-m=0无 实数根。(原意表达：对任意实数m,若mNO,贝【J x2+x-m=0有实数根。)(3) 的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是O.o(4) 的否定：存在一个数能被8 整除,但不能被4 整除.(原意表达 为所有能被8整除的数都能被4整除)(5) 的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至 少有两条不相等。(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它 的四条边中任何两条都相等。)由此看来，要准确

12、表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些 词语的否定如下表：词语 是 一定是 都是 大于 小于 且词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立 存在有一个成立5命题的否定与否命题的区别。命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：一，任何命题均 有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提 出来的。二，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。如下面真值表可

13、知：Pqrprq” Pqrpr q”110011100101011010001111三，原命题“若 P则 q”的形式，它的否定命题在前面已讲过；而它的否命题为“若非P,则非q”，(记为“若rp,则q”)即是说既否 定条件又否定结论。例 6 写出下列命题的否定命题与否命题。并判断其真假性。(1) 若 xy,则 5x5y。(2) 若 x2+x 2，则 x2-x2。( 3 ) 正方形的四条边相等。(4)已知a,b为实数，若x2+ax+b0o解：(1)的否定：x,y(xy且5x5y)。假命题否命题： V x,y( xy 5x5y)o 真命题(原命题为：V x,y (xy 5x5y)。真命题)(2) 的

14、否定：x (x2+x 2)。真命题否命题：V x (x2+x2, x2-x2)。假命题(原命题为：V x (x2+x2, x2-x2)o假命题)(3) 的否定：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等。假命题否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题（原命题是真命题 。 看例 5（5）（4）的否定：存在两个实数a,b,虽然满足x2+ax+b0有非空实解集，但使a2-4b0。假命题否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b0没有非空实解集，则a2-4b 0。真命题（原命题为：对任意的实数a,b,若x2+ax+b0真命题）在教学中，务必理清各类型命题形式结构，性质关系。才能真正准确 地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知 识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。