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1、“概率论与数理统计” 课程论文姓 名：徐守华学 号：1305061038专业班级：电子信息工程1班成 绩：教师评语： 2013 年 12 月 27 日浅析数学期望在实际生活中的应用摘要：数学期望是概率论中的一个重要概念，是随机变量的数字特征之一，体现了随机变量总体取值的平均水平，本文主要阐述了数学期望的定义和性质，讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。关键词：概率统计；数学期望；实际问题；应用.引言：早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人
2、获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。录比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决，风险决策中的期望值法便是处理风险决策问题常用的方法。数学期望是随机变量的数字特征之一
3、，它代表了随机变量总体取值的平均水平。一、期望的概念及性质1.离散型随机变量的数学期望设是离散型随机变量，其分布律为P(=)= （i=1，2），若级数 绝对收敛，则称该级数的和为的数学期望，记作，即：2.连续型随机变量的数学期望设为连续型随机变量的概率密度，若积分绝对收敛，则称它为的数学期望，记作，即： 3.期望的性质1）为任意常数；2）为常数，为变量；3）为变量；4）若独立，则。二、数学期望在实际问题中的应用1.决策投资方案：决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案Ai(i=1,2,m)在每个影
4、响因素Sj(j=1,2,n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的获利期望是E(A1)=40.3+10.5+(-2)0.2=1.
5、3(万元）,存入银行的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)E(A2),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。2. 进货问题：设某种商品每周的需求是从区间10，30上均匀分布的随机变量，经销商进货量为区间10，30中的某一整数，商店销售一单位商品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，没处理一单位商品亏价100元，若供不应求，则可以外部调剂供应，此时一单位商品获利300元，为使商品所获利润期望不少于9280，试确定进货量。解：设进货量，则利润为= = 期望利润
6、为： 解得：，故利润期望不少于9280元的最少进货量为21单位。3. 面试方案：设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。 先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的数学期望值为: E（A1）=40.2+30.3+2.50.4+00.
7、1=2.7万。 那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃(可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢？最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作(接受第三次面试），2.7万。期望值为:E（A2）=40.2+30.3+2.50.4+2.70.1=3.05万。这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接
8、受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为40.2+3.050.8=3.24万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。4. 保险公司获利问题：一年中一个家庭晚万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交纳保险费100元，若一年内万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元(a100)，试问a如何确定才能使保险公司获利？解：只需考虑保险公司对任一参保家庭的获利情况，设表示保险公司对任一参保家庭的收益，则的取值为100或100-a，其分布为:100100-a0
9、.990.01根据题意： 解得 又，所以时保险公司才能期望获利。三、结束语数学期望具有广泛的应用价值。实践证明当风险决策问题较为复杂时，决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，风险决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具，以帮助决策者作出决策，但不能代替决策者进行决策。因为在现实生活中的风险决策还会受到诸多因素的影响，决策者的心理因素，社会上的诸多因素等，人们还需综合各方面的因素作出更加合理的决断。参考文献1 李贤平. 概率论与数理统计M.复旦大学出版社, 20032 孙荣恒. 应用概率论 M.科学出版社, 20013 魏宗舒，概率论与数理统计M.高等教育出版社，20034 赵秀恒等:概率论与数理统计 M. 河北教育出版社,20065 高鸿业:西方经济学M. 中国人民大学出版社,2006 . （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
