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1、鞅的定义及证明摘要：鞅是随机过程中一个重要的研究对象，大量的学者对其各方面的应用做 了详细的研究。本文主要内容是：首先介绍了定义鞅的一个很重要的工具一一条 件数学期望，其次给出了离散鞅及连续鞅的定义，最后给出了证明随机过程是鞅 的常见方法。本文虽然旨在用通俗的语言解释鞅，但在阅读过程中还是需要一些 概率论知识作为基础，希望对于初学者来说有所帮助。关键词：鞅 条件数学期望 布朗运动鞅是随机过程中一个很重要的研究对象，从理论的角度来看，鞅的起源是对 于独立增量随机序列的研究，如泊松过程、布朗运动等，通俗一些来说，鞅可 以看做公平赌博的数学模型。关于鞅的应用已经辐射到很多领域，但对于初学 者来说，鞅
2、是什么？如何从概率的领域定义鞅？如何证明一个随机过程是鞅？都 是很重要的问题。本文旨在用通俗的语言及概率论中基本的工具来定义鞅，并证 明随机过程是鞅。一、条件数学期望定义及其性质1. 条件数学期望定义：（1）离散型随机变量的条件数学期望。设随机向量（X，Y）中X与Y的联合 分布律为：PX=xi|Y=yj=Pij，i，j=1，2，.X 与 Y 的边缘分布律为：PX=xi=Pi=Pij，i=1，2，.PX=yi=Pj= Pij，j=1，2，则条件数学期望：E（X|Y=yj）= xi?， j=1，2，或 E （Y|X=xi）= yj? ，i=1，2，（2）连续型随机变量的条件数学期望。设有连续型随机
3、向量（X，Y），在Y=y发生条件下X的条件密度函数为：p（X，Y）=，则条件数学期望期望：E（X|Y=y）= xp（X|Y）dx 或 E（Y|X=x）= yp（Y|X）dy。由上述两个定义可以看出，条件数学期望表示随机向量（X，Y）的一种条件 期望。2. 条件数学期望性质：性质 1： E（aX1+BX2|Y）=aE（X1|Y）+bE（X2|Y）。性质2:若X、Y相互独立，则E（X|Y）=E（X）。性质 3：若 X、Y 相互独立，则 E（XY|Z）=E（X|Z）?E（Y|Z）。性质4：若X是Y可观测的，则E（X|Y）=X。性质 5： EE（X|Y）=E（X）。性质 6： |E（X|Y）|0是鞅，
4、若对任意的n0,有无条件数学期望有限：E（|Xn|）0和Y=Yn，n0为两个离散参数随机变量，称过程X=Xn， n0关于Y=Yn，n0是鞅，若对任意n0,有无条件数学期望有限：E（|Xn|） 0为一连续随机过程，Ft=oXs， 0s0称为连续时间鞅，若满足：对任意的t0, E（|Xt|）8；对所有0s0，Xt关于F可 测。2. 鞅的证明例：若X1, X2,是独立同分布的随机变量，令m （t） =E （e ），固定t 并假定 m （t）8，令 S0=0，Sn= Xk。求证 Mn=m （t）-ne 是关于 X1， X2，的鞅。证明：根据鞅的定义。（1）v E （ |Mn|）=E（ |m （t）-n
5、e |）=m （t）-n?E（e ）=m （t）-n?E （e ）?E （e ）.E （e ）=m （t）-n?m （t）n= 18注：由题目的已知条件可知e =e =e ?e .e ，又X1，X2，是独立同 分布的随机变量，所以 E（e ）=E（e ）?E（e ）.E（e ）=m（t）n。（2）又:E（ |Mn+1|X1，X2，）=E（m（t）-n-1e|X1，X2，）=E（Mnm（t）-1e|X1，X2，）=Mn?E（m（t）-1e|X1，X2，）=Mn?m（t）-1?E（e|X1，X2，）=Mn?m （t）-1?E （e ）=Mn?m （t）-1?m （t）=Mn由（1） （2）可知，Mn=m（t）-ne 是关于X1，X2，的鞅。证毕。参考文献1刘培德鞅空间理论的新进展J.数学杂志，2017，（3），446-456。2李智鞅在破产概率中的应用J.数学学习与应用，2015，（21），145。3郑庆玉条件数学期望的应用J.临沂大学学报，1995，（5），8-10。董志荣可解性、可观测性及其它J.情报指挥控制系统与仿真，2001，（1），26-29。5黄超对数正太分布的参数估计J.高等数学研究，2015，18，（4），19-21。
