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1、实数全章复习与巩（提高）撰稿：康红梅 责编：吴婷婷【学习目标】1. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些 数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318实数复习，知识要点】 要点一、平方根和立方根-类型 项目平方根立方根被开方数非负数任意实数付
2、号表示 Ja3 a性质一个正数有两个平方根，且互为 相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论(Ja)2 = a(a 0),fa (a 0)va2 二 a = 一 a(a 0 0 ，解得x =_3x - 3 丰 0=2x - 3 + 寸 3 - |x| +12x 3.x2y = (-3)2x(-2)=-18 .【总结升华】根据使式子有意义的条件列出方程，解方程，从而得到x2y的值.举一反三：【变式1】已知y = *x 2 + 2 x + 3，求yx的平方根。【答案】解：由题意得：x 2 0解得x =22 x 0y =
3、3，yx二32二9，yx的平方根为3.【变式2】若v3x - 7和33y + 4互为相反数，试求x + y的值。【答案】解： V3x - 7和33y + 4互为相反数，.3 x 7 + 3 y +4 = 0 .*.3 ( x + y ) =3， x + y = 1.v37 22、已知M是满足不等式- a 6的所有整数a的和,N是满足不等式x 的最大整数.求M+N的平方根.【答案与解析】解: _运 a J6的所有整数有一1, 0,1, 2所有整数的和M= 1 + 1+0 + 2 = 2737-237 -2 x 22, N是满足不等式x 2 的最大整数.N=2.M+N=4, M+N的平方根是2.【
4、总结升华】先由已知条件确定M、N的值，再根据平方根的定义求出M+N的平方根.类型二、与实数有关的问题C3、已知a是*10的整数部分，b是它的小数部分，求(-a)3 +(b + 3)2的值.【思路点拨】一个数是由整数部分+小数部分构成的通过估算丫10的整数部分是3,那么 它的小数部分就是脣10- 3，再代入式子求值.【答案与解析】解： a是订币的整数部分，b是它的小数部分，3 ：10 0,则a b ；若a b =0,则a = b ；若a b 0,则a b .例如：在比较m2 +1与m2的大小时，小东同学的作法是：+1 m 2 丿=m2 +1 一 m2 = 1请你参考小东同学的作法，比较43与(2
5、 + *3)2的大小.【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.【答案与解析】解： 4打C +込 = 4 运(4 + 4 朽 + 3) = 7 0 4j3 v (2 +,：3)2【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择举一反三：【高清课堂：389318实数复习，例5】【变式】实数a在数轴上的位置如图所示，则a,a,1,a2的大小关系是：a厂ao*【答案】 一 a ；a类型三、实数综合应用5、已知 a、b 满足 2a + 8 + I b 一1= 0，解关于x 的方程C + 2+ b2 = a 1。【答案与解析】解： J2a + 8 + I b
6、 鶯3 1= 0.2a +8 = 0, b 3 =0,解得a =一4, b = 3，代入方程:一 2 x + 3 = 5x = 4【总结升华】先由非负数和为0,则几个非负数分别为o解出a、b的值，再解方程.举一反三：【变式】设a、b、c都是实数，且满足(2 a)2 + “a2 + b + c + |c + = 0, 求代数式2a - 3b c的值。【答案】解： (2 a )2 + a2 + b + c + |c + 8| = 0 a 2 + b + c = 0，解得 b = 4 2a 一 3b 一 c = 4 一 12 + 8 = 0 【高清课堂：实数复习，例6】学习了无理数后，某数学兴趣小组
7、开展了一次探究活动：估算的近似值.小明的方法：,9 13 J16，设= 3 + k (0 k 1 ). .13)2 = (3 + k )2.44 13 = 9 + 6k + k2.13 u 9 + 6k .解得 k 層13 3 +3.67 .6 6问题：(1)请你依照小明的方法，估算、打1的近似值；(2)请结合上述具体实例，概括出估算2m的公式：已知非负整数a、b、m，若a jm a +1，且m = a2 + b，则 jm 沁(用含a、b 的代数式表示)；(3)请用(2)中的结论估算37的近似值.【答案与解析】解：(1)T36 41 J49，设 41 = 6 + k ( 0 k 1). 41)2 = (6 + k)2 . 41 = 36 + 12k + k2 . 41U 36 + 12k.解得12、41 u 6 + u 6.42.12(2)V a m a +1，设、m = a + k ( 0 k 1).b对比 m = a 2 + b , b q 2ak, k q - 2avm a +-2a(3) 37 二 62 +1,a = 6, b = 1,.I： 37 q 6 + q 6.083.12问中要对比式【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.b子，找准a和b，表示出k q -.2a
