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1、 1 第3讲分类讨论思想1分类讨论思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运
2、算要求引起的分类讨论如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟
3、，决不无原则地讨论4解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结，将各类情况总结归纳热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1(1)(20xx浙江)设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_(2)在等比数列an中，已知a3，S3，则a1_.答案(1)a(2)或6解析(1)f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a)2时，得f(a)2，而满足f(a)2时，得a.(2)当q1时，a1a2a3，S33a1，显然成立；当q1时，由题意，得所以由，得3，即2q2q1
4、0，所以q或q1(舍去)当q时，a16.综上可知，a1或a16.思维升华(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(1)已知函数f(x)满足f(a)3，则f(a5)的值为_(2)设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2,3，)，则q的取值范围是_答案(1)(2)(1,0)(0，)解析(1)分两种情况分析，或者，无解，由得，a7，所以f(a5)2231.(2)因为an是等比数列，Sn0，可得
5、a1S10，q0.当q1时，Snna10；当q1时，Sn0，即0(n1,2,3，)，则有或由，得1q1.故q的取值范围是(1,0)(0，)热点二由图形位置或形状引起的讨论例2(1)不等式组表示的平面区域内有_个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足PF1F1F2PF2432，则曲线T的离心率为_答案(1)20(2)或解析(1)画出不等式组表示的平面区域(如图)结合图中的可行域可知x，2，y2,5由图形及不等式组，知当x1时，1y2，有2个整点；当x0时，0y3，有4个整点；当x1时，1y4，有6个整点；当x2时，2y5，有8
6、个整点；所以平面区域内的整点共有246820(个)(2)不妨设PF14t，F1F23t，PF22t，若该圆锥曲线为椭圆，则有PF1PF26t2a，F1F23t2c，e；若该圆锥曲线是双曲线，则有PF1PF22t2a，F1F23t2c，e.所以圆锥曲线T的离心率为或.思维升华求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化(1)已知变量x，y满足的不等式组表示的是一
7、个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于_(2)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1PF2，则的值为_答案(1)或0(2)2或解析(1)不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线ykx1与直线x0垂直(如图)或直线ykx1与直线y2x垂直(如图)时，平面区域才是直角三角形由图形可知斜率k的值为0或.(2)若PF2F190，则PFPFF1F，PF1PF26，F1F22，解得PF1，PF2，.若F2PF190，则F1FPFPFPF(6PF1)2，解得PF14，PF22，2.综上所述
8、，2或.热点三由参数引起的分类讨论例3(20xx四川改编)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函数g(x)
9、在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a1)，所以f(x).当a0时，因为x1，所以f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递增当a0时，由得1x1a，故f(x)在(1a，)上单调递增综上，当a0时，函数f(x)在(1，)上单调递增；当a1和0a1的讨论；等比数列中分公比q1和q1的讨论(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论(6)立体几何：点线面及图形位置关系
10、的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b0和b0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论(8)排列、组合、概率中的分类计数问题(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.真题感悟1(20xx课标全国改编)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC等于_答案解析SABCABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，所以AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，所以AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.2(20xx安徽改编)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内
