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1、新编人教版精品教学资料模块综合测评一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是( )A.因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点思路解析:根据公理1判断,只要当直线上有两点在一个平面内,则这条直线就在平面内;反之,只要直线上有一个点不在平面内,则这条直线就不在平面内.答案:C2过点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )A. B. C. D.2思路解析:用
2、两点式得到过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3.令y=0,得x=.答案:A3在正方体ABCDA1B1C1D1中,与AD成异面直线的棱共有( )A.4条 B.5条 C.6条 D.7条思路解析:其余11条棱中,有4条与AD异面,有三条与它相交,其他4条异面.答案:A4点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )A.-1a1 B.0a1C.a1 D.a=1思路解析:解不等式(1-a)2+(1+a)24.答案:A5球的面积膨胀为原来的3倍,膨胀后的球的体积为原来的( )A.倍 B.倍 C.倍 D.4倍思路解析:球的面积变为原来的3倍,球的半径就变为原来的
3、.倍,则它的体积就变为原来的倍.答案:C6下列命题:一条直线在平面内的射影是一条直线.在平面内射影是直线的图形一定是直线.在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行.其中真命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3思路解析:各个命题,都可以举出反例说明它们不成立,如:命题一条直线的射影可以为一个点;命题和此平面垂直的平面在此平面内的射影也可以是一条直线;命题与此平面所成不同角的斜线射影长相等,但斜线长不相等;命题两斜线与平面所成角相等,则他们也可能相交或异面.答案:A7已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m),则AB
4、的最小值是( )A. B. C. D.思路解析:AB2=(1-2m)2+(2-3m)2+(-2+2m)2=17m2-24m+9=17(m-)2+=,ABmin=.答案:C8正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后,下列结论不成立的是( )A.ACBDB.ADC为正三角形C.AB、CD所成角为60D.AB与面BCD所成角为60思路解析:AB与面BCD所成的角应为45.答案:D9从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A. B.2 C.4 D.6思路解析:将圆的方程配方得:x2+(y-6)2=9,圆心在(0,6),半径为3.如图1,RtPAO中,OP=
5、6=2PA,图1从而得到AOP=30,即AOB=60.可求BPA=120.P的周长为23=6,劣弧长为周长的,可求得劣弧长为2.答案:B10a、bN*,则同时过不同三点(a,0)、(0,b)、(1,3)的直线条数为( )A.1 B.2 C.3 D.多于3思路解析:过(a,0)与(0,b)的直线为=1,于是=1,故3a=b(a-1).若b=3m,mN*,则a=m(a-1),于是m2,代入逐个验证可知,m=2,a=2,进而b=6;若b3m,则必有a-1=3n,nN*,则1=n(b-3),于是只有n=1,b=4,进而a=4,故满足条件的直线最多有2条.答案:B11图2,在多面体ABCDEF中,已知面
6、ABCD是边长为3的正方形,EFAB,EF=,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为( )图2A. B.5 C.6 D.思路解析:分别取AB、CD的中点G、H连EG,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积,进而整个多面体的体积为.答案:D12光线从点A(-1,1)射出经x轴反射到圆C:(x-5)2+(y-7)2=4的最短路程是( )A.-2 B.8 C. D.10思路解析:点A(-1,1)关于x轴的对称点是A(-1,-1).圆心C(5,7),最短路程是AC-r=-2=8.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题
7、中横线上)13过P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为_.思路解析:过P点且垂直于OP的直线为所求,方程为x+2y-5=0.答案:x+2y-5=014已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=1,则球面面积为_-.思路解析:由于球心在截面ABC上的射影是ABC的外心(即小圆的圆心),则小圆的半径、球的半径及球心到截面的距离组成一个直角三角形,求出球的半径为,最后利用球的面积公式得S=为所求.答案:15在xOy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)、(0,3),则这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积为_.思路
8、解析:几何体的体积为一个圆台(两底半径分别为1、3,高为2)的体积减去一个圆锥的体积(底为1,高为1).答案:16如图3,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是_.图3思路解析:上面补成一个与原图形一样的图,把它倒扣在原图上即成一个圆柱.它的高为(a+b).所求体积为它的一半.答案:r2(a+b)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)如图4,A、B分别是异面直线a、b上两点,自AB的中点O作平面与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与交于点P.图4
9、求证:P是MN的中点.思路分析:连接AN交于Q,连结OQ、PQ,从而在ABN和AMN中利用中位线的性质求解.证明:连接AN交于Q,连结OQ、PQ,b,OQ是过直线b的平面ABN与的交线,bOQ.同理PQa.在ABN中,O是AB的中点,OQBN,Q是AN的中点.又PQa,P是MN的中点.18(本题满分12分)画出方程|xy|+1=|x|+|y|的图形,并求图形所围成的面积S.思路分析:关键是先把题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0这种易于求解的形式.解:将题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0,由它得到|x|=1或|y|=1x=1或y=1.它的图形(如图5)是四条直线围成的正方
10、形ABCD,它的边长为2,面积为S=22=4.图519(本题满分12分)如图6所示,在正ABC中,E、F依次是AB、AC的中点,ADBC,EHBC,FGBC,D、H、G为垂足.若将正ABC绕AD旋转一周所得的圆锥体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V的比值为多少？图6思路分析:阴影部分所产生旋转体体积用形成的大圆锥体积减去圆柱的体积方法计算.解:设圆锥的高为h,底面半径为r,则圆柱的高为,底面半径为.所以,.20(本题满分12分)圆C:x2+y2-x-6y+F=0与直线l:x+2y-3=0交于两点P、Q,且OPOQ,求F的值.思路分析:P,Q两点即为圆的方程和直线的方程联立得到的方
11、程的解.但没有必要求两点坐标的具体值,F的值我们可以通过运用一元二次方程根与系数的关系灵活求解.解:设P(x1,y1),Q(x2,y2).联立题目中圆和直线的方程并消去y,我们有5x2+2x+4F-27=0.根据根与系数的关系,有根据题意,有POOQ=-1x1x2+y1y2=0x1x2+5x1x2-3(x1+x2)+9=05.21(本题满分12分)如图7,已知多面体ABCDE中,AB平面ACD,DE平面ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F为CE的中点.图7(1)求证:BF面CDE.(2)求多面体ABCDE的体积.(3)求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小.思路分析:(1)
12、如图6,取CD的中点G,DE的中点H,连接FG,FH,容易证明它们也是相应边的垂线.再连接BH.欲证线面垂直,先证线线垂直.如果BF面CDE证明成立的话,则必然有BFCE,考虑到F为CE的中点,我们的目标就是要证明BCE是等腰三角形.另外由于BF在平面ACD上的射影AG是ADC的边CD上的高,所以BFCD.这样BF就垂直于平面ACD上的两条相交直线,从而BF面CDE.(2)求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3)注意到BCE在平面ACD上的射影就是ADC,有结论:两者的面积之比就是所成二面角的余弦值,利用这个结论列式求解.解:(1)证明:AB平面
13、ACD,ABAC,由AB=a,AC=2a,得BC=a.同理,在直角梯形ABDE中,ABAD,DEAD,且AB=a,AD=DE=2a,所以BE=a.又F是CE的中点,BFCE.BF在面ACD上的射影是等边ADC的边CD上的高,BFCD.BF平面CDE.(2)解:连结BD,把原几何体分成三棱锥BACD与三棱锥BCDE.VBACD=ABSACD=a(2a)2=a3.CE=a,CF=a,而BC=a,BF=a,VBCDE=BFSCDE=a(2a)2=.故所求多面体ABCDE的体积为a3.(3)解:设面BCE与面ACD所成的角为.BCE在面ACD上的射影为ACD,cos=,=22(本题满分14分)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.思路分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是A和B的坐标值.但不必解出A和B坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以AB为直径的圆可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)
