《导数的应用4-构造函数证明数列不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的应用4-构造函数证明数列不等式（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数的应用（四）构造函数证明数列不等式例1（选讲或练习）：求证+分析：令则只需证明构造函数则=0,函数在(0,+)上单调递增。所以当时，有f(0)=0，即有有,，故：+即+思考：为何要把化为？参考：同样分析只需证 构造函数：则在1,）上为减函数时由于没学过极限方法，所以建议用法一。一般若最值是x在无穷处的极限时，可考虑用t=代换构造新函数，若函数含分式且在分母X=0处极限为最值时也可用t=代换构造新函数一般把目标化为证明：的形式，然后由于导数证明的最小值仅为注：常用函数不等关系0 时，有唯一的极大值点 5分（II）令p=1，由（I）知有唯一的极大值点, 所以此时有最大值 (当且仅当x=1时取”
2、=”号)， 11分结论成立 14分反思：要证式的右边为,则只需证 注：先考虑利用放缩法及常用函数，否则直接构造函数证明过于繁难。例4已知函数（）试判断函数的单调性，并说明理由；（）若恒成立，求实数的取值范围；（）求证： .(阶乘本质是数列前n项积的问题，可先证两边取对数的式子，即化为前n项和的问题)解：（1） 故在递减 3分 （2） 记 5分再令 在上递增。 ，从而 故在上也单调递增 8分（3）方法1：由（2）知：恒成立，即 令 则 10分 ，, 12分 叠加得： 14分方法2：用数学归纳法证明（略）。例5（选讲）、已知函数的最小值为,其中.()求的值;()若对任意的,有成立,求实数的最小值;
3、()证明.（利用（2）的结论答案：(1)的定义域为得：时，（2）设则在上恒成立（*）当时，与（*）矛盾当时，符合（*）得：实数的最小值为（3）由（2）得：对任意的值恒成立取：当时， 得：当时，得：例6 （培优用）已知函数（1）当且时，证明：；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：.（1）证明：要证，即证，-1分令则-3分在单调递增，即成立-4分（2）解法一：由且可得-5分令-6分由（1）知-8分函数在单调递增，当时，-9分【解法二：令，则，-5分当时，函数在上是增函数，有，-6分当时，函数在上递增，在上递减，对，恒成立，只需，即-7分当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，而，
4、不合题意，-8分综上得对，恒成立，-9分】【解法三：由且可得-5分由于表示两点的连线斜率，-6分由图象可知在单调递减，故当时，-8分即-9分】（3）当时，要证，即证-10分由（1）可知又-11分 ，-13分故得证-14分例7 (培优)设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，() 判断函数在上的单调性； () 设，比较与的大小，并证明你的结论；*（）设，若， 比较与的大小，并证明你的结论.解：()由于得，而，则，则，因此在上是增函数.()由于，则，而在上是增函数，则，即，（1），同理 （2）（1）+（2）得：，而， 因此 .（） 由，则，而在上是增函数，则，即， 同理 以上个不等式相加得：
5、而所以 证法2：数学归纳法（1）当时，由（）知，不等式成立；（2）当时，不等式成立，即成立，则当时， +再由()的结论, +因此不等式对任意的自然数均成立.例8 (培优). 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当；(可否推广？) (III)构造函数证明 解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 根据同向不等式可加性质，两式相加得 (3) 相加后可以得到: 先证不等式时恒成立，则有令,有 1)分析：取只需证证明：=0,函数在(1,+)上单调递减。所以当时，有1)构造函数=0,函数在(0,+)上单调递增。所以当时，有f(1)=0，即有因而有,，, 故：=综上有3. 先证明下面不等式，并构造相应数列不等式并加以证明:(1)(2)(3)(4)(5)
