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1、公平分配问题摘要公平分配问题是生活中常遇到的问题。对于企业、公司、学校、政府部门多能解决的实 际问题。公平分配的原则就是让每个人多能得到同等的对待。而考虑到时记得多重因素下， 传统的平均分配的方法往往不能较好的解决其中的公平问题， 很多时候根本没有公平的分配 方法。我们需要另寻其他方法。我们将以 Q 值法进行逐一分析与检验， 使得得出一个最佳的合理方案。 即：使得各自的 分配最公平。关键词：公平分配 最佳方案 最公平班级：姓名： 学号：问题重述三人合作承包了 1000件物品的搬运工作，总收入为20元（假设最小单位为元）。工作完成后，甲搬运了 515件，乙搬运了 315件，丙搬运了 170件。分
2、别应得收入10.3, 6.3, 3.4元。因为最小单位为元，因此三人各自拿了应得的整数部分后，剩下1元归应得数中小数最大的一位丙。即分别收入10元，6元，4元。由于三人表现较好， 提前完成了搬运工作。 货主作为奖励，搬运费支付了 21元钱。于是甲提议重新分配收入。21元按完成工作量各自 应得10.815, 6.615, 3.57 元。取整数后，按小数大小分配剩余， 分别得分配收入11元, 7元，3元。回答下列问题：（1 ）上分配方案是否公平？为什么？（2 ）建立数学模型确定分配方案.符号说明A B 某人P1A 搬运的货物数量P2B 搬运的货物数量n1搬运p数量的货物的报酬n2搬运p数量的货物的
3、报酬p衡量不公平程度A（ n1, n2）相对于A的不公平值rB（ n 1, n2）相对B的不公平值Qkk对应的人的报酬的 Q值Q1甲对应的Q值的大小Q2乙对应的Q值的大小Q3丙对应的Q值得大小基本假设假设两个人分配，分配方法就会趋于简单更便于我们对问题的处理。故假设两个 人分配的的分配问题，先从两个人入手，对一般问题的讨论。有一般推广，并运用于 多对象问题的讨论。模型设计 先讨论两个人公平分配报酬问题的情况，如下图。A、B分配报酬情况某人搬运货物报酬每件的报酬APiniPi nBP2n2Rn2要满足公平，应该有门n2但这一般不成立。注意到等是不成立时，有卄 Pip2若，则对A不公平；nn2若卫
4、1 ：卫2，则对b不公平；nn2因此，可以考虑用算式p= I卫1 =卫2 I来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不 n2足之处（绝对数的特点） ，如果个人的搬运件数和报酬为n1 = n2=io， po,p2=100,算得p=2;另两人的搬运件数和报酬为 nj = n2=i0， P=1020, P2=1000,算得p=2.虽然在两种情况下都有 p=2，但显然第二种情况比第一种情况公平。下面采用先对标准对公式给予改进，定义劳动报酬的相对不公平标准公式如下Pi- P2a（ ni, n2）=ni n2P2n2为对A的相对不公平值。#若R ：卫2，定义m n2p2 Pib( ni, n2)=n2niP
5、i#为对B的相对比公平值。由定义知，对某人的不公平值越小，该人在报酬分配中越有利，因此，可以用不 公平只尽量笑得分配方案来减分配中得不公平。下面讨论通过使用不公平值的大小来确定分配方案。设A的搬运件数为p,所得报酬为ni，B的搬运件数为p，所得报酬为n2 再增加一元报酬，分别分配给 A、B，有如下不公平值P2Pini 1( ni 1 p2PiPn#ni JPi- P2n2 i#用不公平值的公式来决定报酬的分配。对于新的报酬分配，若有b( ni+i,门2)va( ni，n2+i)则增加的报酬应给 A,此时对不等式B( ni+i, n2) v rA( ni, n2+i)进行简化,可以得出不等式P2
6、(n2 n2引入公式于是知道增加的报酬分配可以由Qk得最大值决定，它可以推广到多个人的一般情况。用Qk的最大值决定报酬分配的方法称为Q值法。对于个人（m个人）的报酬分配 Q值法可以描述：(1)先计算每个人的Q值，即Q (k=1,2，m);K(2)求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中一个即可）(3)将报酬分配给最大值Q .对应的i对应的人。模型求解先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。本问题的整数额共分配了19元整，具体为；甲10.3m=10乙6.3n2=6丙3.4n3=3对第20元的分配，计算Q值为Q/5152=2411.110 11Q23152-=2362.56 7Q31
7、702-=2408.33 4因为Q最大，所以第20元应给甲对第21元的分配，计算Q值为Qi =5152=2009.311 12Q23152-=2362.56 7Q31702-=2408.33 4因为Q 最大，所以第21元应给丙。3最后的搬运会支付为；甲 11元 乙6元 丙4元。模型分析若一开始用Q值法分配，以主次增加一元，也可以得到同同样的结果。模型构建 中我们可以以最简单的开始构建，从简单到复杂的过程。对设计较多对象的问题，先 通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般规律。参考文献ISBN 7-81110-111-4/0.55杨尚俊，数学建模简明教程，出版地；安徽大学出版社，2006年3月第1版。#
