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1、4傅里叶变换的性质傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上, 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。f线性傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若(5.4-1)式中圜、圄为任意常数。上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。二、对偶性如图5.4-1所示，其中图5.4-1 对偶
2、性说明证明由逆傅里叶变换公式以圈代替匹有若将上式中变量印与国互换，可以得到的傅里叶变换式，即显然,上式就是根据对偶性质，若己知的频谱函数为，为求得度之频谱就可以利用度给出。当为偶对称函数时,进一步有例如，单位冲激函数的傅里叶变换等于瓦即对偶性质就意味着常数1的傅里叶变换为(5.4-2)可见，直流信号的傅里叶变换是一个出现在亶处的冲激函数。频谱如图5. 4-2所示。图5.4-2 常数1的频谱若直接利用傅里叶变换式求解，由于常数1不满足绝对可积条件，傅里叶积 分需要用极限的方法求解。常数1可看作双边指数函数当a趋近于零的极限, 即由式(5.3-8)当由第一章冲激函数的内容，上式极限为它与利用对偶
3、性质求得的结果一致。利用对偶性质还可求得的傅里叶变换。根据式（5.3-9）,当矩形脉冲的高度及1，宽度有应用对偶性质得则(5.4-3)信号的频谱为矩形脉冲。三、尺度变换若，对于任意不等于零的实数图，有(5.4-4)根据傅里叶变换的定义式，读者可自行证明之。变换为是一种在时域对信号进行压缩或扩展的运算。如果每，信号密表示廛在时间轴上压缩；如果| 信号 表示耍在时间轴上展宽。信号的压缩意味着信号波形以较快的速率变化，信号的展宽则表示信号的波形比原来的变化要慢。表示频谱函数在频域，如果展国倍；如果呼胃,I示频谱函数在频率轴上扩在频率轴上压缩。尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频 谱函
4、数的扩展与压缩。由于时域信号的压缩或扩展影响信号的总能量，对应于 频域频谱函数的幅度将有相应的1/1容的改变。图5. 4-3给出了矩形脉冲尺度变换的儿种情况。图5.4-3矩形脉冲的尺度变换四、移位 (5.4-5)(5.4-6)式(5.4-5)称为傅里叶变换的时移性质，式(5.4-6)称为傅里叶变换的频 移性质。时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位 谱产生附加相移 圈。频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移单位，在时域就对应于其时间信号匡乘以移位性质容易由傅里叶变换的定义式证明。例如频移性质可 证明如下：由移位性质可得例 5. 4-1试求图5.4-4 (a
5、)所示三个矩形脉冲信号频谱，设脉宽为国，脉冲重复间隔为固。(a)(b)图5.4-4三矩形脉冲及其频谱表示中间的矩形脉冲信号，相应的频谱函数前己求出，即由图可知应用时移性质可得其频谱函数为假设性的频谱如图5.4-4(b)所示。例 5. 4-2求的频谱函数。解由欧拉公式利用傅里叶变换的线性性质和频域移位性质，有类似地，还可得到图5.4-5示出了 的频谱。图 5.4-5的频谱例 5. 4-3己知信号陛的频谱为求| 一的频谱。解I可表示为根据频域移位性质有图5. 4-6示出了信号匿的频谱留被搬移的情况。(b)图5. 4-6频谱搬移特性示例例5.4-3中的堂切相乘得到的信号亡M在通信系统中称为幅度调制信
6、号。信号与频率较高的正弦或余弦信号相乘的过程称为调制,己调信号再次与正弦或余弦信号相乘的过程乂称为解调。信号ffl通过与不同 频率的正弦或余弦信号相乘使信号圜的频谱搬移到不同频率处实现的通信 方式称为频分复用。通信系统中的调制、解调及频分复用等都是应用傅里叶变 换的频移特性才得以实现的。五、微分wsauK dc时域微分性质：若,则(5.4-7)证明两边对*求导，得所以同理可推出I对r求阶导数的傅里叶变换为例5. 4-4利用时域微分性质求符号函数的傅里叶变换。解由于符号函数的导数为因此，根据式（5.4-7）由该式得这里项只有在亶处不为零，它是圈的时域平均值。一般情况下, 在度中应考虑项的存在，这
7、是由于时域微分运算意味着表达式 2=将失去时域平均值的信息。在本例中，符号函数的时域平均值为零，故(5.4-8)图5.4-7给出了符号函数的频谱，它为虚奇对称函数。图5.4-7符号函数及其频谱利用常数1和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于故有阶跃函数的傅里叶变换在亶处为度,在亶处为 O例5.4-5利用时域微分性质求图5. 4-8(a)所示三角脉冲信号的傅里叶变换。对解三角脉冲信号可表示为求两次导数，波形如图5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得10)由于I满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故(5. 4-频谱如图5.4-8(d)所示。(a)(b)(c)(d)图5.4-8三角脉冲信号及其频谱若傅里叶变换式对固求导，可得频域微分性质:(5.4-11)例5. 4-6利用频域微分性质求斜变函数的傅里叶变换。根据频域微分性质，有给上式时域和频域同乘以常数j,则(5.4-12)
