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1、时变电磁场唯一性定理下面我们讨论由多种媒质所组成的场域V。为叙述方便，先引入内边界面和外边 界面的概念。内边界面是指边界面两侧区域都是场域的边界面，内边界面位于场 域V内。外边界面是指边界面两侧区域中有一侧属于场域V而另一侧不属于场域 V的边界面，外边界面是场域最外侧的边界面。内边界面的两侧区域都是未知的 待求场域；而外边界面的两侧区域中有一侧是待求场域而另一侧是常量为已知的 场域。唯一性定理 假设：1）形状不随时间t变化的场域V是由m个线性媒质V , V，,V所组成，V的12 mi边界面r是由分片光滑曲面所组成的闭曲面，V的外表面是r，i二1,2,., m。i2）外部电流源J和K分布在有限区
2、域内，矢量J ,K ,G ,G ,F ,F和标量P是s s e h e h不全为零的有界的已知量。3）媒质V的介电常量 0，磁导率r 0，电导率丫 0，i二1,2,.m。4） V中iiiii的电场强度E和磁场强度H在闭如果区间V +r上存在连续偏导数，iii iI 1,2,m 。在上述条件下，如果由以下初边值（2.79） （2.90）所确定的场量E和H 存在，那么它们分别有唯一的有界非零解。1. 约束方程dt丿Vx H(M,t)-Y(M)+8(M) 2E(M,t)- J(M,t) (2.79)Vx E(M,t)+r(M) H(M,t) 0(2.80)dtM e V, t 02初始条件E(M,t
3、)I G(M),M e V (2.81)t 0eH(M, t)I G(M), M e V (2.82) t 0hvTrH(m,t) I 0， M e V (2.83)t0I P (M ), Mt0eV(2.84)3. 内边界面上得边界条件在内边界面r上场量应同时满足以下两式:ij0(2.85)n (p)xE (p, t)E (p,t)ijjinij(p)xH (p,t)-H (p,t)卜 K (p,t)(2.86)j i ij以上两式中，各个场量的含义为E (p,t) = limE(p ,t),E (p,t) = limE(p ,t)j j i ih (p,t)=limH(p ,t),jjPj
4、T p.p： Tph (p, t )=limH(p, t)iipiTpp e V , p e V , p eT , i 0i ij jiji = 1,2,., m 1 ; j = 2,3,., m4. 外边界面上的边界条件在外变截面 T 上，场量仅需满足以下两式的其中之一： outn(Q)xE(Q,t) = F(Q,t)(2.87)e或n(Q)xH(Q, t) = F(Q, t)(2.88)h以上两式中，场量的含义为E(Q,t) = limE(M,t), H(Q,t) = limH(M,t)M TQMTQM eV , QeT ， t oout5. 无限远条件 当场域是无界区域时，在无限远处场量
5、应同时满足以下两式:limrE = D (2.89)er TalimrH = D(2.90)hrTa符号说明：r是v和v的公共变截面，由于r位于v内，所以r为内边界ijijijij面；r是整个区域v的外表面，当v是有界区域时r就是外边界面r ，当v是out无界区域时r = r +r，这里r是无界区域中无限假想的光滑曲面；n是r上 out ininijij从V指向V的单位法向矢量；j和k分别是外源的电流密度和电流面密度；n是 ijsij外边界面r 上得单位法向矢量；G，G，F，F均为已知的矢量函数；P是 outeh e h分布在有限区域内的外源电荷密度；r是坐标原点o到场点p之间的距离；D和 eD 分别是与坐标无关的有界常矢量。h把整个v区域写成外边界r和无限远处假想外表面r之和r = r +r的out in out in 形式具有广泛的代表性。
