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1、、填空题 1.用最速下降法求f(X)=1O(x -x ) + (1 x )2最优解时，设x(o)= 0.5,0.5卜，第一步迭代的搜索方向为2 1 12. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形 成趋势高低高。5. 包含n个设计变量的优化问题，称为 维优化问题。16. 函数一 xtHx + Btx + c 的梯度为HX+B。7.与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的丕变方向。& 设
2、G为nxn对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量do, d1，满足(do)Gd1 = 0，则do，d1之间存 在共轭关系。9. 设计变量，目标函数，约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。10. 对于无约束二元函数f (x, x )，若在x =(x , x )点处取得极小值，其必要条件是在x点的梯度为0,充12012340分条件是在X点的海赛矩阵正定。011. 口条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。12. 用黄金分割法求一元函数 f (x) =X2 - 10X + 36的极值点，初始搜索区间a, b=-1O,1o，经第一次区间消去后得到新区间
3、2.3610。13.14.优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。牛顿法搜索方向dk = -(V2 f (Xk )-1 Vf (Xk )，其计算量大，且要求初始在级极小点附近位置。.将函数 f(X)=x 2+x 2-x x -10x -4x +60 表示成XtHX + BtX + C 的形式 1 2 1 2 1 2 2-卩-11Xr 1Xx1+-10 -41+ 602-1 2XX111- 2丄215. 存在矩阵H,向量d，d，当满足dTHd = 0向量d和向量d是关于H共轭方向1 2 2 1 216. 采用外点法求约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚
4、因子r数列，具有 单调递 增特点。17. 采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最佳步长18. 对于一维搜索，搜索区间为a,b,中间插入两个点a，b，a b，计算出f (a ) f (b )，则缩短后1 1 1 1 1 1 的搜索区间为a, bj。19. 由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致，派生出不同的无约束优化问题过程中，惩罚因子具体有趋于 0变化规律。20. 寻出等式约束极值条件时，将等式优化问题转化为无约束问题的方法有消元法和拉格朗日乘子法21优化问题中二元函数等值线，从外层向内层函数值逐渐变小22. 优化设计中，可行设计点为可行域内的设计点。23.
5、方向倒数定义为函数在某点处沿某一方向的变化率24. 设f (x)为定义在凸集R上具有连续二阶导数的函数，则f (x)在只上为凸函数充分必要条件是海赛矩阵 G (x)在R 上处处大于025. 在n维空间中互相共轭的非零向量是个数最多有n个。26. 约束优化问题在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。27. 外点惩罚函数法的迭代过程在可行域外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近边界或等式约束曲面二、选择题1. 下面_C_方法需要求海赛矩阵。1141 为2. 对于约束问题根据目标函数等值线和约束曲线，判断x(1) =为D3. 内点惩罚函数用于求解B_优化问题。4. 拉格朗日乘子法师求解等式约束优化问题
6、的一种经典法，它是一种_D。5. 对于一维搜索，搜索区间为a,b,中间插入两个点a，b，a b，计算出f (a ) f (b )，贝y缩1 1 1 1 1 1 短后的搜索区间为D。6. D不是优化设计问题数学模型的基本要素。7. 变尺度发的迭代公式为xk+i = xk -a H Vf Ck),下列不属于H必须满足的条件是C。k kk& 函数f (x)在某点的梯度方向为函数在该点的A。9. 下面四种无约束优化方法中，D在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。10. 设f (x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f (x)在R上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵G (x)在R上
7、处处_A。11. 通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是_B12. 一维搜索试探方法中，黄金分割法比二次插值法的收敛速度_A。13. 下列关于最常用的一维搜索试探方法黄金分割法的叙述，错误的是C D,假设要求在区间ta,b插入两点a，a，a a。121214. 与梯度成锐角的方法为函数值_A_方向，与负梯度成锐角的方向为函数值_B_方向，与梯度成直角 的方向为函数值的_C_方向。15. 二维目标函数的无约束极小点就是_A。16. 最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+1必为向量_B。17. 下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是_A_。18. 下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是_A。19.
8、设f （x）是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数，则f （x）在D上严格凸函数的充要条件是_B:20. 下列几种无约束问题求解方法中，哪种算法需要计算海赛矩阵A。21. 关于正交方向和共轭方向之间的关系，下列说法正确的是B。22. 多元函数的海赛矩阵是其_B_偏导数所形成的对称矩阵。23. 关于变尺度优化方法的变尺度矩阵A，下列说法不正确的是C。k24. 关于梯度，下列说法不正确的是_B。25. 与梯度成锐角的方向为函数值_A方向。三、判断题1. 二元函数等值线密度的区域函数值变化慢。（x）2. 海赛矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。（V）3. 当迭代接近极值点时，最速下降法会出现
9、锯齿现象，导致收敛速度慢。（V）4. 外点惩罚函数法的惩罚因子降低系数越小，则迭代次数越多。（V）5. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向对海赛矩阵共轭。（x）6. 数值迭代法求极值的核心就是建立搜索方向和计算最佳步长。（V）7. 海赛矩阵负定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。（x）& 拉格朗日乘子法师求解无约束优化问题的一种方法。（x）9. 凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。（V）10. 一维搜索的二次插值法用到了点的函数值，一阶导数和二阶导数信息。（x）11. 二元函数等值线稀疏的区域函数值变化慢。（V）12. 海赛矩阵正定的充要条件是它的主子式都小于零。（x）13
10、. 外点惩罚函数法师只试用于不等式约束问题（x）14. 变尺度法求解优化问题时需计算海赛矩阵（x）15. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向相互垂直。（V）四、问答题1. 什么是一维搜索问题？答：当方向dk给定时，求最佳步长a 7就是求一元函数f （xk+Q = f （xk +a dk） = *（a ）的极值问题，它 kkk称为一维搜索。2. 试述两种一维搜索方向的原理，它们之间有何区别？答：搜索的原理是：区间消去法原理区别：(1)、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快， 而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法(2)、插值法：没有函数
11、表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式 近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。3. 共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系？f (X )= 1 XtGX + bTX + c对于二次函数，2，从Xk点出发，沿G的某一共轭方向dk作一维搜索，到达0 (x, r, r ) = f (x) + r 艺 G(g (x) + r 工 H (h (x)k +点，则Xk+1点处的搜索方向dj应满足J=1Jk=17k+1勺)。，即终点Xk+1与始点Xk的梯度之差gk+1 _ gk与dk的共轭方向dj正交。3
12、. 惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？答：惩罚函数求解约束优化问题的基本原理是将约束优化问题中的不等式和等式约束优化函数 经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目标函数惩罚函数，即求解该新的目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。4. 与最速下降法和牛顿法比较，试述变尺度法的特点。答：牛顿法对于二次正定函数只需作一次迭代就得到最优解，特别是在极小点附近，收敛性很好、速度快， 而最速下降法在极小点附近收敛速度很差。但牛顿法也有缺点，它要求初始点在最优点附近，否则牛顿法 不能保证其收敛，甚至也不是下降方向。因此，变尺度法就是在克服了梯度法收敛速度慢和牛顿法计算量、 存储量大的
13、特点基础上而发展起来。6. 试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。答 主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最 佳步长因子的近似值 .7. 写出应用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式 的意义。Xl=xO+aOdO.答：意义是从X0出发沿某一规定方向dO求函数的极值点，设此点为X1，再从XI出发沿d1方向求函数 的极值点X2，如此继续。8. 变尺度矩阵的搜索方向是什么？变尺度矩阵应满足什么条件？变尺度矩阵在极小点处逼近什么矩阵？并 写出其初始形式。答：搜索方向是拟牛顿方向S(0)=-A(0)f(X(k),条件：(1)为保证迭代公式具有下降的
14、性质，要求变H = H +E尺度矩阵中的每一个矩阵都是对称正定的。(2)要求矩阵之间具有简单的形式：k+1 = k k。(3) 要求矩阵必须满足拟牛顿条件。变尺度矩阵在极小点处逼近海塞矩阵的逆矩阵。初始形式Hk=I (单位矩 阵)。9. 在变尺度法中，变尺度矩阵Hk为什么要求都是正定对称的？答：因为若要求搜索方向dk =_Hkgk为下降方向，即要求gldk 0，也就是g：Hkgk 0，即乞应为对称正定。10. 什么是共轭方向？满足什么关系？共轭与正交是什么关系?答：共轭方向是若干个方向矢量组成的方向组，具有某种共同的性质，之间存在特定的关系。存在矩阵 H d dd1Td d向量di, 2，当满
15、足Hd2=0，向量di和向量2是关于H共轭方向。共轭是正交的推广，正交是共轭的特例。11. 请写出应用MATLAB优化工具箱处理约束优化设计问题的基本步骤。答：(1)编写定义目标函数的M文件如：function f =ws331(x)f=1000_x(1)入2_2*x(2)入2_x(3)入2_x(1)*x(2)_x(1)*x(3)(2)编写定义约束方程函数的M文件如：function c,ceq =ws332(x)C (小于等于 0 ) =_x(1);_x(2);_x(3);Ceq (等于 0)=x(1)A2+x(2)A2+x(3)A2_25;8*x(1)+14*x(2)+7*x(3)_56;(3)在窗口调用求解命令求解.。求解格式为：x0=
