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1、第八章 空间解析几何与向量代数8.1向量及其线性运算1。填空题(1)点 (1,1,1)关于xoy面对称的点为(1,1, 1)，关于yoz面对称的点为 (1,1,1)，关于xoz面对称的点为(1, 1,1).(2 )点(2, 1,2)关于x轴对称的点为(2,1, 2)，关于y轴对称的点为即1 (z4 (y为(0,3,3)。1)21)2(z2(z 2)，解得2)29 (y 3)2 (z 3)2z 3，则该点y 34.求平行于向量2i 3j 4k的单位向量的分解式。解：所求的向量有两个，一个与a同向，一个与a反向因为24). 29，所以 ea1 (2i 3j 4k)。J 295。设 m i 2j2k
2、，n 2ij k，求向量a 4m n在各坐标轴上2。已知两点M1(1,1,1)和M2(2,2,1),计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角。解：因为M11M2(1,1,0),故 IMMI.2,方向余弦为22cos,cos，cos0，方向角为2244 2(2, 1, 2)，关于z轴对称的点为(2,1,2)，关于坐标原点对称的点 为(2,1, 2).解：因为a 4m的投影及分向量。n 4(i 2j2k)(2i j k) 6i 9j 7k，以在x轴上的投影为ax 6，分向量为axi 6i，y轴上的投影为ay分向量为ayj 9j,z轴上的投影为az7,分向量为azk7k。9,3。在yoz平面上，求与A
3、(1,1,1)、B(2,1,2)、C(3,3,3)等距离的点解：设该点为(0, y,z)，则6.在yOz平面上，求与 A(1,2,1)、B(2,1,0)和C(1, 1,1)等距离的点.解：设所求的点为P(0,y,z)，由| AM | | BM | |CM |可得1 (y 1)2 (z 1)24 (y 1)2 (z 2)29 (y 3)2 (z 3)2，12(y2)2(z1)222(y1)2 2z ，解之得y(z 1)222(y1)22 z12(y1)21-,z 0 故2所求的点为（0丄0）。2nx3 mxj ny3 myj nz3 mzH ( , , )n m n m n m则三角形 FGH的
4、重心为7.已知点B（1, 2,6）且向量AB在x轴、y轴和z轴上的投影分别为 4,4,1 , 求点A的坐标。nx1 mx2n mnx2 mx3n mnx3 mx-in m解：设点A的坐标为（x, y,z）,由题意可知（1 x, 2 y,6 z）(4,4,1)，ny1my2ny2my3ny3my1mz2nz2mz3nz3 mzj、nmnmnmnmnm)n m-（x1 X2 X3,y1 y2 丫3,乙 Z2 z?）.则x 5, y 6,z5，即点A的坐标为（5, 6,5）。证明:若 A(X1,y1,zJ、Bgyz）、。化皿么）是一个FGH的三个顶点，设三角形的重心为 E，则E11-(A B C);
5、33(X1 X2X3,y1 y2 丫3,乙 z? Z3)设ABC的同比m之分点分别为F、G、H，分点的坐标为8试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心nmx2mnyj my2 nz mz2n m n mnx2 mx3 ny2 my3 nz? mz3、 G( , , )1。若 |a|3,|b|4,(a,b),求 c 3a32b的模.解: |c|2(3a 2b) (3a2b)3a 3a2b3a 3a 2b 2b 2b9|a|212a b24|b|9 3212 342cos4 4733所以|c|73。2已知|ab| |ab|，证明：ab 0.证明：由|
6、 ab| |ab|，可得|ab|2 |a b|2 ，可知所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心。8。2数量积向量积(a b) (a b) (a b) (a b)|a|2|b|2|c|22a b 2b c 2c a0,|a|2 |b|22a b|a|2 |b|22a b，即 4a b而 |a|2|b|2 |c|2 1，所以3。已知| a |10,|b|18,|ab|20，求 |ab|.6.求与i 2j2i3k都垂直的单位向量.解：因为解:400 |a b|2 (ab) (ab)|a|2 |b|22a b 1003242a b所以 2a b 24，|a b|.(a b) (a b),|
7、a |2 |b |2 2a b100 324 24 8、7.而|c|(7)252( 3)2 83，所以ec7i7,5,5j 3k3)。4已知a(1,2,4), b (3, 3,3)，求a与b的夹角及a在b上的投影解：a b1 3 2 ( 3)4 39，9J7cos& 4 16 v9 9 97V7arccos . 因 为77.设 AB a 5b, BC 6a 18b,CD 8(a b)，试证 A、B、D 三点共线。证明：只需证明AB II BD .因为 BD BC CD 2a 10b2(a 5b)2AB，所以 AB II BD。a b |b | Pr jba，所以 Pra：/3。5。已知a ,
8、b，c为单位向量，且满足a b c 0，计算a b b c c a .解：因为(a b c) (a b c) 0，所以&已知 a (1, 2,3)，b (2,m,0)，c (9, 3,9)(1) 确定m的值,使得a b与c平行.(2) 确定m的值，使得a b与c垂直。解：(1)要使a b与c平行，只需(a b) c 0 ,因为a b (3, m 2,3),(9m9,0,9 9m),(2)要使a b与c垂直，只需(ai j k(a b) c 3 m 2 3939所以当m 1时a b与c平行。b) c 0，因为 a b ( 1, m 2,3)，而(a b) c ( 1, m 2,3) (9, 3,
9、9)9 3m 627 3m 24，所以当m 8时，a b与c垂直。8.3曲面及其方程1。填空题(1)将xOz坐标面上的抛物线 z2 4x绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面2 2的方程为(z y 4x)，绕z轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为(z2 4 - x2y2 )。(2 )以点(2, 3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为(x 2)2 (y 3)2 (z 2)217).(3)将xOy坐标面的圆x2 y2 4绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为(x2 y2 z2 4) o2。求与点A(1,2,1)与点B(1,0,2)之比为1 : 2的动点的轨迹，并注明它是什么曲面。解：设动点为P(x
10、,y,z),由于|PA|:|PB| 1:2 ,所以2 . &1) 2一(y2)2一(z1)2(x1)2一(y0)2一(z2)2，解之，可 得3x2 3y2 3z2 6x 16y 4z 19 0, 即2 8 2 2 2 20(x 1) (y -) (z ),所以所求的动点的轨迹为以点3 398 22. 5(1厂，)为心，半径为的球面。3 333求与点(2,1,3)和点(4,2,4)等距离的动点的轨迹。解:设动点为P(x, y, z)，由题意知 (x2厂(厂1厂(z_3)2.仪4厂(厂 2厂(z_4)2 ,整理得2x y z 110.4o写出下列曲面的名称，并画出相应的图形。(1) 16x2 9y
11、2 9z225.解：该曲面为单叶双曲面 16x2 9y2 9z225。解：该曲面为双叶双曲面。(2)物面 z x2y2(0 z2)在xOy面上的投影为），在xOz面上的投影为（x2z 2）,在yOz面上的投2z251。影为(y22 )。解：该曲面为旋转椭球面。2.求球面x24与平面x z1的交线在xOy面上的投影方(4) x2 y2 9x。程。解：该曲面为双曲柱面。解：将zx代入x2y2 z24，得(1x)24，因此投（5） y2 z2 9x。解：该曲面为椭圆抛物面（6）4（x 1）2 （y 2）2 （z 3）20.解：该曲面为椭圆锥面。8.4空间曲线及其方程1.填空题y 2x 1（1）二元一
12、次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交y 4x 3影方程为z2x02 2x3。分别求母线平行于x轴、y轴及z轴且通过曲线2x2x2y22y2z2z2柱面方程。2打，x解:在 2x2y22y2z2z2422中消去x得3y2 z204，即为母线平行于直线的交点（2,5）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平且通过曲线的柱面方程。行于z轴且过点（2,5,0）。c222y z2c2y 2z4中消去y得3x2 5z204，即为母线平行于y轴且通过曲线的柱面方程2 2 2 在 X 2y Z x2 y2 2z24中消去z得x2 5y208，即为母线平行于 z轴且以参数方程为2cos、5( 02si n5求螺旋线y2 cos2si n 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。（1）（x2 2 21) y z4yx 1解：将yx 1代入(x1)
