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1、2013年全国初中数学竞赛试题考试时间 2013年3月17日 9:30-11:30 满分150分题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人 答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1设非零实数a，b，c，满足则的值为（ ） （A） （B）0 （C） （D）12已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关
2、于x的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ） （A）c2x2+(b22ac)x+a2=0 （B）c2x2(b22ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b22ac)xa2=0 （D）c2x2(b22ac)xa2=03如图，在RtABC中，已知O是斜边AB的中点，CDAB，垂足为D，DEOC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC4如图，已知ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） （A）3
3、 （B）4 （C）6 （D）85对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：=， 且，则的值为（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6设a=，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为_7如图，点D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知CDF，BFE，BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是_8已知正整数a，b，c满足a+b22c2=0，3a28b+c=0，则abc的最大值为_9实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组
4、（a，b，c，d）为_ABCFDE（第4题)ABCED（第7题)ABCODE（第3题)10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了_支圆珠笔三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11如图，抛物线y=ax2+bx3，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=x2+1与轴交于点D，求DBCCBEADBCOyxE12设ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的ABC，求BAC所有可能的度数13设a，b，c是素数，记x=b+ca，y=c+ab，z=a+bc，当z2=y，=2时，能否构成三角形的三边长？证明你的结论14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，an中都至少有一个为的魔术数第 1 页 共 3 页
