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1、四边形难题综合教师版1如图，在平行四边形ABCD中， ABC=45， E、F 分别在 CD和 BC的延长线上， AEBD， EFC=30， AB=2.求 CF的长【答案】 2 2+2 6【解析】试题分析：易证四边形 ABDE是平行四边形，则 AB=DE=CD，过点 E 作 EH BF 于点 H，解等腰直角三角形 CEH 得 EH=CH=2 ，解 FH=2 6 ，从而得 CF=2 2 +2 6 试题解析：四边形 ABCD是平行四边形， ABDC，AB=DC.AEBD，四边形 ABDE是平行四边形 .AB=DE=CD，即 D 为 CE中点 . AB=2， CE=4.又 ABCD， ECF=ABC=
2、45.如图，过点 E 作 EHBF于点 H，第2页共24页 CE=4， ECF=45， EH=CH=2 . EFC=30， FH=2 6 ， CF=2 2 +2 6 考点： 1. 平行四边形的判定与性质； 2. 含 30 度角直角三角形的性质； 3. 等腰直角三角形的性质2已知正方形 ABCD，AB=8，点 E、F 分别从点 A、D同时出发，以每秒 1m的速度分别沿着线段 AB、DC向点 B、C方向的运动，设运动时间为 t （ 1）求证： OE=OF（ 2）在点 E、F 的运动过程中，连结 AF设线段 AE、OE、OF、 AF所形成的图形面积为S探究：S的大小是否会随着运动时间为 t 的变化而
3、变化？若会变化，试求出 S 与 t 的函数关系式；若不会变化，请说明理由连结 EF，当运动时间为t 为何值时， OEF的面积恰好第3页共24页等于的S【答案】（1）见解析（ 2）见解析t 为 时【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得出OA=OD， EAO=FDO=45，求出 AE=DF=t，根据 SAS推出 EAO FDO即可；（ 2）延长 EO交 DC于 M，求出 AOE COM，根据全等三角形的性质得出 AE=CM=t，根据 S=S四边形 AEMFSFOM求出即可；根据全等得出 OE=OM，求出 SEOF= SEFM=164t ，即可得出方程 164t= 16，求出即可（ 1）证明：四
4、边形 ABCD是正方形，OA=OD， EAO=FDO=45，点 E、F 分别从点 A、D 同时出发，以每秒 1m的速度分别沿着线段 AB、DC向点 B、C方向的运动，设运动时间为 t ， AE=DF=t，在 EAO和 FDO中第4页共24页 EAO FDO（SAS），OE=OF；（2）解：S的大小不会随着运动时间为t 的变化而变化，理由是：延长EO交 DC于 M，四边形 ABCD是正方形， OAE=MCO=45， OA=OC，在 AOE和 COM中 AOE COM（ASA）， AE=CM=t， S=S四边形 AEMFSFOM= （t+8 t t ）?8 （ 8t t ）?4=16，所以 S 的
5、大小不会随着运动时间为t 的变化而变化；第5页共24页 AOE COM，OE=OM，SEOF=SFOM= SEFM= （8t t ）?8=16 4t ， OEF的面积恰好等于的S， 164t= 16，解得： t= ，即当运动时间为 t 为 时， OEF的面积恰好等于的 S点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大3已知：如图1，在四边形 ABCD中， ABCD， B=D（ 1）求证：四边形 ABCD是平行四边形；（ 2）过点 A 作 AEBC于 E，AFCD于 F，如图 2，若 CF=2，CE=5，四
6、边形 ABCD的周长为 28求 EF的长度【答案】（1）证明见解析（2） 39 第6页共24页【解析】试题分析：（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”和已知条件判定“同旁内角互补”，则两直线平行得到 ADBC，于是得到结论；（2）由四边形 ABCD是平行四边形，得到 B=D，由于AEB=AFD=90，得到 ABE ADF，得到 ABBE ，根据比ADDF例的性质得到 AB ADBEDF ，得到 AD=2DF，根据直角三角形ADDF的性质得到 DAF=30， D=60，求出 C=120，由余弦定理求得结果试题解析：（1）证明：在四边形ABCD中， ABCD， A+D=180又 B=D
7、， A+B=180，ADBC，四边形 ABCD是平行四边形；（ 2）解：设 BC=x，CD=y，x+y=14，BE+DF=14（-5+2）=7，第7页共24页四边形 ABCD是平行四边形， B=D， AEB=AFD=90， ABE ADF， AB BE，AD DF AB AD BE DF，ADDF 147，AD DF AD=2DF， DAF=30， D=60， C=120，根据余弦定理得：EF2=52+22- 252?cos120=25+4+10=39， EF= 39 第8页共24页考点：平行四边形的判定与性质4（本小题满分 6 分）如上图，在 ABC和 EDC中， ACCE CBCD，ACB
8、 ECD90，AB与 CE交于 F，ED与AB、 BC分别交于 M、H（ 1）求证 :CFCH；（ 2）如下图，ABC不动，将 EDC绕点 C旋转到 BCE=45 时，试判断四边形 ACDM是什么四边形？并证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 ACDM是菱形，证明见解析【解析】试题分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：第9页共24页定义；四边相等；对角线互相垂直平分具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定（ 1）要证明 CF=CH，可先证明 BCF ECH，由 ABC=DCE=90，AC=CE=CB=CD，可得 B=E=45，得出 CF=CH；（2）根
9、据 EDC绕点 C旋转到 BCE=45，推出四边形 ACDM 是平行四边形，由 AC=CD判断出四边形 ACDM是菱形试题解析：（1）证明： ACB=ECD=90, ACE+BCE=BCD+BCF, ACF=BCD, AC=CE=CB=CD, ACF DCH， CF=CH（2）四边形 ACDM是菱形；证明如下： ACB=90， AC=CB， B=45， ECD=90, BCE=45， BCD=45, ABCD，同理 ACDM，四边形 ACDM是平行四边形AC=CD，四边形 ACDM是菱形考点： 1菱形的性质； 2，全等三角形的判定与性质第10 页共24 页5如图，已知 ABC=90， D是直线
10、 AB上的点， AD=BC（1）如图 1，过点 A 作 AFAB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF、 CF，判断 CDF的形状并证明；（2）如图 2，E 是直线 BC上一点，且 CE=BD，直线 AE、CD相交于点 P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由【答案】（1） CDF是等腰三角形；（2） APD=45【解析】试题分析：（1）利用 SAS证明 AFD和 BDC全等，再利用全等三角形的性质得出 FD=DC，即可判断三角形的形状；（ 2）作 AFAB于 A，使 AF=BD，连结 DF，CF，利用 SAS证明 AFD 和 BDC 全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC， FDC=90，即可得出 FCD=APD=45试题解析：（ 1）CDF是等腰三角形， 理由如下： AF AD， ABC=90， FAD=DBC，在 FAD与 DBC中，AD=BC，第11 页共24 页 FAD=DBC，AF=BD， FAD DBC（SAS）， FD=DC， CDF是等腰三角形；（ 2）作
