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1、利用学习的多元表征方式，促进学生对算理的“真理解”刘加霞北京教育学院两位数减两位数（退位）笔算，是在学生学会两位数加两位数、两位数减两位数（不退 位）笔算基础上学习的，核心知识基础是20以内（不）退位减法计算。在当前的笔算教学中， 大多数教师注重每一种算法从学生中来，注重每一位学生亲历每一种算法的思考过程，注重 每一位学生的学具操作。但由于笔算是“直观的算理，抽象的算法”，若不能沟通学具操作、 口算与竖式表示的笔算之间的关系，尤其还要将直观的学具操作转化为头脑中的形象的表象 操作，学生就难以真正掌握算法、理解算理。很多教师已认识到，低年段借助直观操作，帮助学生理解算理的重要性，在实际教学中，
2、教师也会设计许多的操作活动，但动手操作就能真正理解计算的算理吗？许多教师的教学实 践中，操作何以成了可有可无的摆设？操作、算理和算法要如何结合，如何处理好算理和算 法的关系？孙老师设计的两位数减两位数（退位）减法一课对此给出了她的诠释，我们也对 孙老师的诠释来进一步诠释。一、通过多元表征深刻理解算理理解算理需要我们首先弄清楚什么是计算的算理。计算的本质是相同计数单位个数的计 算，由此加减法计算的基础是20以内的计算，乘除法计算的基础是“九九口诀”，并明确“满 十向高一级单位进一”或者“向高一级单位借一当十”。因此计算的算理是：运算的意义； 数概念背后所蕴涵的“十进制”、“位值制”思想；运算的性
3、质与定律；运算之间的互逆关 系。如何真正理解算理？理解算理是否只是一个课时的任务？美国教育心理学家布鲁纳提出学习的三种表征方式：动作的、形象的和符号的，并认为 这三者之间存在一种严格的递进关系。基于布鲁纳的观点，我们认为学生在理解算理掌握算 法的过程中需要四种表征方式：动作表征、形象（表象）表征、语义表征、数学符号表征。 在深刻理解算理的过程中，这四种表征方式之间不是单一的递进关系，更不是相互脱节的（有 的老师的教学就是脱节的，操作是操作，竖式是竖式，没有借助于操作、头脑中的表象来理 解竖式中每一数字的含义）。笔算教学的关键是将这四种表征方式有机结合，既能从直观操作到理解抽象数学符号的 意义，
4、也能对书写的数学符号做直观形象的解释，既“有来有去”的教学，孙家芳老师设计 的两位数减两位数（退位）笔算教学，就是对此进行实践探索。这一点可以通过本课的教学目标看出：1. 借助多种语言之间的相互转化，帮助学生理解两位数减两位数（退位）的算理，掌握 计算的方法。2. 在操作、交流、研讨过程中感受位值制思想，养成用不同语言表达思维过程的习惯。3. 在多种语言表征的数学学习活动中感受多角度看待事物的方法。教学重点：在动作、语义、符号多种形式表征的过程中理解算理、掌握算法。教学难点：在多种语言的相互转化的过程中为“退位点”建立丰富的表象支撑。基于对算理本质的理解以及四种表征方式的理解，本课的教学目标准
5、确恰当具体，因此 在一节课中是可落实的。二、“精耕细作”实现多元表征的有机整合整体上看，本课在借助四种表征方式来理解算理方面，进行了 “精耕细作”：强调“56”如何用直观结构化的学具表示：5捆6根。将学生的语言表述、学具操作以及教师的板书（直观图、竖式）同时进行紧密结合。教师适时恰当的追问与强化：我们先从个位开始计算，个位上6-8不够减，就相当于小 棒中的什么？个位不够减到十位借1,请你在小棒这边用一个动作表示出来。从整捆的小棒 中拿出1捆这个动作表示什么？个位不够减向十位借1,就是从整捆的小棒中拿出1捆，在 竖式中5的上面点一个“点”表示，竖式中5上面的这个“点”表示什么？具体说来，本课建立
6、小棒的操作过程与竖式书写过程的一一对应关系大致经历几步：1. 建立拿一捆小棒与点借位点之间的一一对应关系。2. 建立打开一捆小棒与借一当十之间的一一对应关系。3. 建立打开的10根小棒与6根小棒合起来去掉8根小棒与竖式书写之间的关系。4. 建立从剩下的4捆小棒去掉1捆小棒之间的一一对应关系。5. 建立操作结果与竖式书写结果的关系。“精耕细作”还体现在为抽象的借位“点”寻求丰富的表象支撑：师：5上面的圆点表示什么。生：5上面的圆点表示借给个位1个十，也就是从5捆中拿走1捆给个位。师：就是5上面的这个点，它使得什么变了，还使得什么变了？生：就是5上面的这个点，它使得个位上的6变成16,还使得十位上
7、的5变成4。如此等等，这样的“精耕细作”在成人看来，似乎没有意义，“不就是计算，告诉学生 怎么算不就行了？”弗赖登塔尔在作为教育任务的数学一书中对此专门有论述：儿童似 乎比数学教师更容易使用这一材料（指直观的齐性的结构化的学具，例如本课中使用的小棒， 或者第纳斯（Dienes）木块、计数器等），因为数学教师太依赖于形式方法，反而不善于直观 学习。动作表征是低年级学生数学学习的重要方式与途径，符合学生的认知特点与思维水平， 随着年龄的增长，学习过程中直观形象的成分逐渐减少而逻辑抽象的成分会逐渐增加。三、多元表征理解算理需要长时间强化借助于直观结构化材料学习计算理解计算的算理，最终应导致算法的计算
8、。这是一个长 期的行为，而不仅仅只是第一课时中的“一次性”的行为，当前教学中，所谓的理解算理就 仅仅是一次操作学具，一次看懂直观图到理解竖式，操作学具只是片刻的装饰，后续的练习 甚至考试中很少再操作学具、再看学具的直观图，因此对算理仍然没有深刻理解，最终留给 学生的仍然只是会具体的、简单的计算，一旦涉及稍微复杂的计算（例如连续退位）或者问 题解决，学生仍然不会，其根本原因仍然没有真正理解算理。通过四种表征方式的紧密结合来理解计算的算理，不是“片刻”也不是一节课的任务， 需要经验的积累，需要适时、适当的重复练习。因此，在孙老师的教学中练习题的设计仍然 强调运用多元表征来理解算理，而不是出一道计算
9、题让学生计算。其练习是仅仅围绕教学的 目标（运用多元表征深刻理解算理）而设计的：将表达同一意义的“直观图”与竖式相连、 看图写竖式、在数轴上寻找竖式的结果。练习题的内容、形式都突破了已有的单一计算的题 目（仍然是强化算法淡化算理的理解），这样的练习题为如何借助于多元表征真正深刻算理、 强化算理提供了一个示范。弗赖登塔尔说：我想应该让儿童玩直观教学材料，他们喜欢玩多久就让他玩多久，只要 能熟练地掌握，材料愈复杂，儿童获得的知识也就越多。该观点对我们的教学启发非常大： 设计什么样的复杂的有价值的材料？如何让学生长时间地玩而且玩得有价值？我们的考试如 何在玩中考而不仅仅是纸笔？等等。四、这样做的教学
10、价值是什么笔算教学教会学生迅速、正确地计算很重要（在计算器普及的背景下其重要程度降低） 但是学习计算，更重要的是发展学生对数的性质的理解力和洞察力，培养学生的数感；使学 生理解真正理解算理，同样也承担着数学思维能力、问题解决能力培养的重任；积累数学活 动经验，为后续顺利学习奠定基础。例如在本课中就重视在计算教学中对学生进行审题训练：拿出符合要求的小棒师：我们用小棒演示他说的过程，我们要拿多少根小棒？生：我要拿5捆6根小棒。师：为什么要拿5捆6根小棒，不拿5捆6根行不？生：不行。因为计算56-18，就是从5捆6根小棒中去掉1捆8根；从5捆6根小棒中 去掉1捆8根，就是在计算56-18。如果不拿5
11、捆6根小棒，做的就不是这道题目了。在日常教学中，教师容易忽视“为什么要拿5捆6根小棒，不拿5捆6根行不？ ”这个 问题，其实，简简单单的一个问题，承载的是对学生审题意识的培养，强化数概念的深刻理 解，这些为理解算理正确计算做了孕伏。又如：师：就是5上面的这个点，它使得什么变了，还使得什么变了？生：就是5上面的这个点，它使得个位上的6变成16，还使得十位上的5变成4。借助这两个问题，帮助学生梳理、总结，使学生不仅对借位“点”有丰富的表象支撑， 意识到借位“点”给个位、十位上的数带来变化，还意识到数学上任何一个符号的背后都有 深刻的道理，感受到数学的抽象性、严谨性，体验借助具体事物理解抽象问题的途径与方法。新课改背景下计算教学的价值是什么？如何实现计算教学所能够承载的教育价值？需要 我们在实践中不断地探究总结。发表在小学教学2010年第3期
