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1、数值计算方法实验实验2 用雅克比迭代法解方程组一、 实验目的1、 学习使用雅克比迭代法求解方程组，加深对雅克比迭代法的认识。2、 在误差允许的范围内，在循环次数较少的情况下，求解方程组的稳定解。3、 进一步加深对Matlab的学习。二、 实验题目用雅克比迭代法解方程组： 三、 实验原理 设有n元线性方程组AX=b, 其中系数矩阵A的对角元素0（i=1,2,3,n） 从方程组的第i个方程中可以解出 ,可得到以下等价方程组：() ,() ,，.记D为A的对角线矩阵，L为A的下三角阵，U为A的上三角阵，即 则有：X=-(L+U)X+b;令 B=-(L+U)， d=b;则有：X=BX+d;其中B成为迭
2、代矩阵上式即为雅克比迭代法的迭代公式。取定一个以后，便可得,再往下迭代得到：,如此反复迭代，一般的有：, k=0,1,2,由此便得到一个向量序列.若,则就是方程组的解。反之：若不存在，即不收敛，就不能用雅克比迭代法计算。可将上述迭代过程改为如下形式： , (i=1,2,3,n)四、 实验内容按照上述迭代法可得到如下的算法：设方程组为：AX=b, 其中系数矩阵A的对角元素0（i=1,2,3,n）max_iter为迭代数容许的最大值，eps为容许误差：1. 取初始向量,令k=0;2. 对i=1,2,n,计算： .3. 如果,则输出,结束。否则，执行下一步；4. 如果max_iter=50,则该迭代
3、法不收敛，终止程序；否则转2.建立一个M文件，程序如下：function x,iter=jacobi1(A,b,x_0)A=5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6;b=8 21 1;eps=10e-6;x_0=0 0 0;n=3;x=x_0;max_iter=100;y=0 0 0;for k=1:n if(A(k,k)=0) return endend iter=1;while itermax_itertemp=0; for i=1:n for j=1:n temp=temp+A(i,j)*x(j); end temp=(b(i)-temp)/A(i,i); y(i)=x(i)+temp; end x=y; iter=iter+1; if abs(temp)eps returnendend五、 实验结果 ans = 1.0000 2.0000 -1.0000六、 实验结果分析该方程组用雅克比迭代法求解是收敛的。七、 实验出现的问题及体会1、用M函数文件创建的函数可以输出两个参量。
