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1、3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。解 由图3-1可知，为奇函数，因而所以，三角形式的傅利叶级数（FS）为 指数形式的傅利叶级数（FS）的系数为所以，指数形式的傅利叶级数为3-2 周期矩形信号如图3-2所示。若：重复频率脉宽 幅度 求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS）的系数则的指数形式的傅利叶级数（FS）为其直流分量为基波分量的幅度为二次谐波分量的幅度为三次谐波分量的幅度为由所给参数可得将各参数的值代入，可得直流分量大小为基波的有效值为二次谐波分量的有效值为三次谐波分量的有效值为
2、3-3 若周期矩形信号和的波形如图3-2所示，的参数为， ，； 的参数为， ，分别求：（1）的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz表示；（2）的谱线间隔和带宽；（3）与的基波幅度之比；（4）基波与三次谐波幅度之比。解 由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为且基波幅度为三次谐波幅度为另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频。 周期矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为。注意，频谱还可以表示为频率f的函数。由可知，若以f为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为。依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下：（1）的谱线间隔带宽（
3、第一零点位置）（2）的谱线间隔带宽（3）的基波幅度的基波幅度因此的基波幅度：基波幅度（4）的三次谐波幅度因此基波幅度：三次谐波幅度3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅利叶级数并画出幅度谱。解 由图3-3可知，该周期三角信号是偶函数，因而即不包含正弦谐波分量。 从而幅度谱如图3-4所示。3-5求图3-5所示半波余弦信号的傅利叶级数。若，,大致画出幅度谱。解 由图可知，为偶函数，因而从而若，则幅度谱如图3-6所示。3-6求图3-7所示周期锯齿信号的指数形式的傅利叶级数，并大致画出频谱图。解 图3-7所示周期锯齿信号指数形式的傅利叶级数（FS）的系数从而幅度谱和相位谱分别如图3-8（a）、（b）所
4、示。3-7利用信号的对称性，定性判断图3-9中各周期信号的傅利叶级数中所含有的频率分量。解 （a）如图3-9（a）所示。因为是偶函数，所以不含正弦波；又因为是奇谐函数，所以不含直流项和偶次余弦项。 综上，只含奇次余弦分量。（b）如图3-9（b）所示。因为是奇函数，所以不含正弦波；又因为是奇谐函数，所以不含偶次余弦项。 综上，只含奇次余弦分量。 （c）如图3-9（c）所示。因为是奇谱函数，所以只包含奇次谐波分量。（d）如图3-9（d）所示。 因为是奇函数，所以只包含正弦分量。（e）如图3-9（e）所示。 因为是偶函数，所以不含正弦项；又因为是偶谐函数，所以不含奇次谐波分量。 综上，只含有直流和偶
5、次余弦分量。 (f)如图3-9（f）所示。 因为是偶谐波函数，所以不包含奇次谐波分含量；又因为是奇函数，所以只包含正弦分量。综上，只包含直流和偶次谐波的正弦分量。3-8 求图3-10中两种周期信号的傅利叶级数。解 （a）如图3-10（a）所示。此题中的与题3-4中的信号（记为）在图形上相同，只是平移了，即由题3-4知， 则（b）如图3-10（b）所示。方法一：由于为偶函数，所以所以方法二：此题还可利用单脉冲信号的FT与周期性脉冲信号的FS的系数之间的关系：先求如图3-11所示的单脉冲信号的FT可利用微积分性质。 和分别如图3-12（a）、（b）所示。由于由FT的微分性质，得于是则周期信号的傅利
6、叶系数3-9求图3-13所示周期余弦切顶脉冲的傅利叶级数，并求直流分量。以及基波和次谐波的幅度(和)。（1）（2）（3）提示：，为的重复角频率解 图3-13所示信号，为的重复角频率直流分量由于是偶函数，所以则基波的幅度k 次谐波的幅度（2）当时，（3）当时，3-10 已知周期函数前四分之一周期的波形如图3-14所示。根据下列各种情况的要求画出在一个周期()的波形。（1）是偶函数，只含有偶次谐波；（2）是偶函数，只含有奇次谐波；（3）是偶函数，含有偶次和奇次谐波；（4）是奇函数，只含有偶次谐波；（5）是奇函数，只含有奇次谐波；（6）是奇函数，含有偶次和奇次谐波。 解 （1）由要求可判断出，既是偶
7、函数，又是偶谐函数。在内的波形如图3-15（a）所示。（2）由要求可判断出，既是偶函数，又是奇函数。在内的波形如图3-15（b）所示。（3）有条件可判断出，是偶函数，亦是非奇偶函数。满足这个条件的不止一个，下面仅画出一例。 在内的波形如图3-15（c）所示。（4）由要求可判断出，既是奇函数，有时偶谐函数。在内的波形如图3-15（d）所示。（5）由要求可判断出，既是奇函数，又是奇谢函数。在内的波形如图3-15（e）所示。（6）由要求可判断出，是奇函数，亦是非奇非偶函数，满足该条件的不止一个，下面仅画出一例。在内的波形如图3-15（f）所示。3-11 求图3-16所示周期信号的傅利叶级数的系数，（
8、a）题求；（b）题求。解 （a）由图3-16（a）可知，的周期为4，且在0，4内的函数表达式为。从图3-16（a）中易看出，在一个周期内的平均只为零，即所以（b）由图3-16可看出于是3-12 如图3-17所示周期信号加到RC低通滤波电路。已知的重复频率，电压幅度。分别求：（1） 稳态时电容两端电压之直流分量、基波和五次谐波之幅度；（2） 求上述各分量与相应分量的比值，讨论此电路对各分量响应的特点。（提示：利用电路课所学正弦稳态交流电路的计算方法分别求各频率分量之响应。）解 首先把周期电压源信号展开为傅里叶级数：因此式中。由所给电路，求得电路的频响函数为电压源中的直流分量中的基波分量的幅度中五
9、次谐波分量的幅度电容两端电压亦为与同频率的周期信号，且当作用时，电容两端电压，亦即5V，中的基波分量的幅度中五次谐波分量的幅度综上所述，（1） 稳态时电容两端电压之直流分量幅度为0.25V，基波幅度为3V，五次谐波幅度为0.019V。（2） 电容电压中直流分量与中直流分量之比值0.25：0.25=1，中基波幅度与中基波幅度之比值为，中五次谐波幅度与中五次谐波幅度之比值为。由以上比值可分析得知，此RC电路是一低通滤波器，对高频分量衰减的相对大一些，而对低频分量衰减的相对少一点。3-13 学习电路课时已知，LC谐振电路具有选择频率的作用，当输入正弦信号频率与电路的LC谐振频率一致时，将产生较强的输
10、入响应，而当输入信号频率适当偏离时，输出响应相对值很弱，几乎为零（相当于窄带通滤波器）。利用这一原理可从非正弦周期信号中选择所需的正弦频率成分。图3-18所示RLC并联电路和电流源都是理想模型。已知电路的谐振频率为，谐振电路品质因数Q足够高（可滤除邻近频率成分）。为周期矩形波 ，幅度为1mA。当的参数()为下列情况时，粗略地画出输出电压的波形，并注明幅度值。（1）（2）（3）解 （1）当时，的基频 因为电路的谐振频率，所以电路将产生较强的，由中的基波所引起的输出电压。的傅里叶级数展开式为即其中由的傅里叶级数（FS）可知，其基波的幅度为此基波所引起响应电压即当时，输出电压为一个频率为100kHz
11、，幅度为127V的正弦波，其波形如图3-19(a)所示。（3） （2）当时，的基频（4） 此时电路产生的输出电压主要应是由中的二次谐波分量所引起的。 由（1）知，中二次谐波的幅度这里因而即由二次谐波所引起的响应为零。考虑到由其他谐波分量所引起的电压很微弱，所以输出电压近似为零。（3）当时，的基频此时电路产生的输出电压主要由的三次谐波分量所引起的。由（1）知，中三次谐波的幅度这里因而此三次谐波所引起的响应即输出电压为一个频率为100kHz，幅度为的正弦波，其波形如图3-19（b）所示。3-14 若信号波形和电路结构仍如图3-18所示，波形参数为（1） 适当设计电路参数，能否分别从矩形波中选出以下
12、频率分量的正弦信号：50kHz, 100kHz, 150kHz,200kHz,300kHz,400kHz?（2） 对于那些不能选出的频率成分，试分别利用其他电路（示意表明）获得所需频率分量的信号。（提示：需利用到电路、模拟电路、数字电路等课程的综合知识，可行方案可能不只一种。）解 （1）输入信号的周期，因而基频也就是说 ，中只包含的整数倍频率的谐波成分，因此不可能从此矩形波中选出的非整数倍频率，即50kHz, 150kHz。 又由题3-13可知，的傅里叶级数(FS)为其中当n=2和n=4时，二次谐波和四次谐波的幅度均为0，因此也不可能从此矩形波中选出200kHz和400kHz的正弦分量。 综上
13、所述，当参数为时，电路只能从矩形波中选出100kHz和300kHz的正弦分量。（2）选出50kHz的正弦分量可利用如图3-20(a)所示系统。选出150kHz的正弦分量可利用如图3-20(b)所示系统。选出200kHz和100kHz的正弦分量可利用如图3-20(c)所示系统。3-15 求图3-21所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。解 由图3-21易知，则此信号的傅里叶变换其频谱图如图3-22所示。3-16 求图3-23所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换。解 （a）的波形如图3-24（a）所示。等式两边同取傅里叶变换(FT)，有则当时，用罗必塔法则求F(0),或（b）的波形如图3-
14、24(b)所示。则（c）及 波形如图3-24（c）、（d）所示。两边求FT，有其中（d）由于因而即两边求FT，有其中3-17 图3-25说是各波形的傅里叶变换可在本章正文或附录表中找到，利用这些结果给出各波形频谱所占带宽（频谱图或频谱包络图的第一零点值），注意图中的时间单位都为。解 （a）是矩形单脉冲信号，其频谱函数其中E为幅度，为脉冲宽度。是一抽样寒暑，其第一零点值，此题中，因此带宽（b）是有两个平移了的矩形单脉冲信号合成的，其频谱函数其中E仍为脉冲幅度，为脉冲宽度。由于的包络是抽样函数，所以带宽仍为，此题中，因此宽度（c）为升余弦脉冲信号，其频谱函数其中E为最大幅度，为脉冲宽度。的第一零点值，此题中，因此带宽（d）偶对称的三角脉冲信号的频谱函数为，其第一零点值。此题中的是平移了半个脉宽的偶对称三角脉冲信号，由FT的时移特性可知，其中为E最大幅值，为脉宽。由于平移不会改变信号的频带宽度，且此题中，因此带宽（e）偶对称的梯形脉冲信号的频谱函数第一零点值。此题中的是平
