高数习题

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1、高等数学第一章习题一、填空1.设的定义域是，则复合函数的定义域为设的定义域是,2,则的定义域 -1/2,0 。3设 , 则的定义域 0,1 。5.设的定义域为,则的定义域6. 已知，则的定义域为 。7.设的定义域是,则 的定义域8.设的定义域是,则的定义域 9. = 00. 。1.= 12当时,是比 高阶 的无穷小1当时，与为等价无穷小，则4若数列收敛，则数列与否有界 有界 。15若(A为有限数),而不存在,则 不存在 。16设函数在点处持续,则在点处与否持续。( 不一定 )17.函数的间断点是、- 1. 函数在处持续是在该点处有定义的充足条件;函数在处有定义是在该点处有极限的无关条件。（填：

2、充要，必要，充足，既不充足也不必要,无关）。9.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数持续的必要 条件。(填:充足、必要、充要、既不充足也不必要）21.函数在区间内的最小值是 不存在 2已知在0处持续,则= 2 。3设到处持续，且，则 4是的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点.2.是的第 2 类间断点,且为 振荡 间断点26.设函数,当 0 ， -1 时，函数在点x1处持续. 27在“充足”、“必要”和“充足必要”三者中选择一种对的的填入下列空格内：(1）数列有界是数列收敛的 必要 条件。数列收敛是数列有界的 充足 条件。（2）在的某一去心邻域内有界是存在的 必要 条件

3、。存在是在的某一去心邻域内有界的 充足 条件。(3)在的某一去心邻域内无界是存在的 必要 条件。存在是在的某一去心邻域内无界的 充足 条件。二、选择1.如果与存在，则（ ).(）存在且（B）存在但不一定有（C）不一定存在 (D)一定不存在.如果，,则必有( D）。A、 B、 D、（k为非零常数)3.当时,artg的极限（ D )。A、 B、 C、 D、不存在,但有界4.（ D ）。、 B、 C、=0 D、不存在5当时,下列变量中是无穷小量的有( C ）。A、 B、 、 、6. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（ ）。A、 、 C、 D、7.无穷小量是(C ）（A)比稍大一点的一种数 (

4、B)一种很小很小的数（C）以0为极限的一种变量 （)常数08. 如果都在点处间断，那么（ D )(A）在点处间断 ()在点处间断（C）在点处持续 (D）在点处也许持续。9.已知，且,那么( ) (A）在处不持续。（)在处持续。 （C)不存在。 （D)0.设 ,则为( ） （A） (B) (C) (D）不存在1.设 则（ ) (A)在的极限存在且持续; (B）在的极限存在但不持续；（）在的左、右极限存在但不相等； (D)在的左、右极限不存在。1. 设，则当 时,有（ B ） (A)与是等价无穷小； （B)与是同阶但非等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小; (D）是比低阶的无穷小。13.当时，下列四

5、个无穷小量中,哪一种是比此外三个更高阶的无穷小（ D)(） ; (） ； （C)；（D）。1当时， 是等价无穷小，则:=( C ）（) 1 ； (B） 2； （C) ； （D)1/25下列运算对的的是（ C ）（A）（B）(C） = =0+ 0=100(D） 三、基本计算题（一求极限)1. 1.解：-12. .解：1 3 3.解:4. 4.解： 5. 解:.解:17 7.解: 8. 8.解： .9解：10.设时， 是等价无穷小，求的值0.解:1 11 解：312.12.解:13. 13.解14.4解:15.15.解：6 16解 ：7.7. 解：18.18.解：219.设 求19. 解20. 0

6、 解: 1. 21.解: 22.解： 23 23解：424.解: 5.25.解: (二持续与间断)6.2.解27.指出函数的间断点，并鉴定其类型.27.解是函数的第一类间断点（跳跃间断点）。 四、综合计算题（一持续与间断)1设，讨论在其定义域内的持续性,若有间断点,指出其类型。. 解 x-1 是第一类跳跃间断点。2设，试问：为什么值时,使在=0处持续?. 解:=1。.已知，求与的值，3.解：=,=3。4.讨论函数的持续性,并指明间断点的种类。4.解 当-2或0或2时函数无定义故，-2、0、为间断点=2为函数的第二类间断点。=为函数的可去间断点。为函数的跳跃间断点。设，应如何选用数，才干使在-处

7、持续？.解 ，。6.讨论函数的持续性,并指明间断点的种类6解当=1或2时函数无定义,故=和为函数的间断点,1为函数的可去间断点。=为函数的第二类间断点。7.求极限,记此极限为，求函数的间断点并指出其类型。7.解:当 时，函数无定义,因此,是函数的间断点,是可去间断点；,是第二类间断点。8.设 ,求函数的间断点并指出其类型。8.解是第二类间断点;是跳跃间断点。99.解（二.已知某些极限，求此外的极限或常数）10若，求,的值10.解 ,1已知 ,求。11. 解：12. 设 ，试拟定与的值。12. 解： 3. 13.解：（三.零点定理、介值定理）4设在上持续。且,则必存在使14解 设1设函数在上持续

8、,证明:在上至少存在一点，使得15.解:运用最值、介值定理6.设在上持续,且,则，使得。1.解:运用最值、介值定理六、提高题(一求极限)1.当 时,求1. 解 原式=2.设求2.解 . .解（二零点定理、介值定理)4.设在0,n(为自然数，n2)上持续，证明:存在使。.解 设，且持续,则：将以上各式相加得 ,另一方面，由于持续,因此有， 由介值定理知 使 即5证明：奇次方程至少有一种实根。 证 不妨设 ，令则 , 又在持续,那么，在上也持续,由零点定理知，至少存在一种使得 ，即方程至少有一种实根。6 设在内为非负持续函数，证明:在内存在点,使得6. 证设，在上持续且有最小值m和最大值M,即有 由介值定理知,存在，使得，即，从而成立。