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1、数学归纳法1数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是：(1)验证：nn0 时，命题成立；(2)在假设当nk(kn0)时命题成立 的前提下，推出当nk1时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立 2归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关 的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可 1用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1.2当证明从k到k1时，所证明的式子
2、不一定只增加一项；其次，在证明命题对nk1成立时，必须运用命题对nk成立的归纳假设步骤二中，在由k到k1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论关键是明确nk1时证明的目标，充分考虑由nk到nk1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当nk1时命题也成立，这也是证题的常用方法 3用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确4要注意“观察归纳猜想证明”的思维模式，和由特
3、殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力 5数学归纳法与归纳推理不同(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性结果不一定正确，需要进行严格的证明(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确 6在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继
4、传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题 证明：1(其中nN)证明(1)当n1时，左边，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即1，那么当nk1时，左边111右边这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何nN都成立用数学归纳法证明：1.证明当n1时，左边1右边，当n1时，等式成立假设nk时等式成立，即1.则当nk1时，左边1()()()右
5、边nk1时等式成立由知等式对任意nN都成立点评在利用归纳假设论证nk1等式成立时，注意分析nk与nk1的两个等式的差别nk1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变到.因此在证明中，右式中的应与合并，才能得到所证式因此，在论证之前，把nk1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的证明不等式 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立证明当n2时，左1，右，左右，不等式成立假设nk(k2且kN*)时，不等式成立，即，那么当nk1时，1，nk1时，不等式也成立对一切大于1的自然数n，不等式成立点评(1)本题证明nk1命题成立时，利用归纳假设并对照目标式进行了恰当的缩小来实
6、现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式成立(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤： 第步p(n0)成立是推理的基础; 第步由p(k)p(k1)是推理的依据(即n0成立，则n01成立，n02成立，从而断定命题对所有的自然数均成立) 另一方面，第步中，验证nn0中的n0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第步中，证明nk1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设 .(2013大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明：12(n2)分析按照数学归纳法的步骤证明，由nk到nk1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化 证明1当n2时，12，命题成立2假设nk时
7、命题成立，即12当nk1时，120，f(x) ，令a11，an1f(an)，nN.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解析(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想 an(nN)(2)证明：()易知，n1时，猜想正确()假设nk时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由()()知，对于任何nN，都有an已知数列xn满足x1，xn1，nN.(1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn1xn| n1.解析(1) 解: 由x1及xn1，得x2，x4，x6.由x2x4x6，猜想数列x2n是单调递减数列下面用数学归纳法证明：当n1时，已证明x2x4，命题成立假设当nk时，命题成立，即x2kx2k2.易知xn0，那么，当nk1时，x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立综合和知，命题成立(2)证明：当n1时，|xn1xn|x2x1|，结
