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1、第3讲应用问题中的“瓶颈题”【突破应用问题】第3讲应用问题中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第8998页)数学应用问题是高考中常见题型之一，是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有：(1) 函数与不等式模型；(2) 函数与导数模型；(3) 三角函数模型；(4) 数列模型.近几年江苏高考数学试题中，正在形成强调将数学应用于解决实际问题的趋势，这个趋势有以下两个特点：一是应用问题考查加大力度，连续多年考大题，形成江苏特色；二是由简单的直接应用向实际问题数学化转化，贴近生活，并且阅读量逐步增加.应用题在高考中的得分率一直比较低，怎样才能突破这个瓶颈，应该从以下几个方面抓起.首先，要掌握解决实际问
2、题的一般步骤：(1) 阅读题目，理解题意；(2) 设置变量，建立函数关系；(3) 应用函数知识或数学方法解决问题；(4) 检验，作答(解应用题的一般思路如下面流程图所示).其次，要掌握数学建模的方法.下面以数学建模方法为例来谈谈如何突破应用题这个瓶颈.【解法概述】举题说法突破瓶颈关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法例1某工厂有容量为300 t的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水.已知该厂生活用水为每小时10 t，工业用水量W(t)与时间t(单位：h，定义早上6时t=0)的函数关系式为W=100，水塔的进水量有10级，第一
3、级每小时进水10 t，以后每提高一级，每小时的进水量增加10 t，若某天水塔原有水100 t，在供水同时打开进水管.(1) 设进水量选用第n级，写出在t时刻时水的存有量；(2) 问：进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?【分析】题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量.其数量关系为：存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量.第一问的关键点是求“进水量选用第n级”.第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存有量(0，300)”.【解答】(1) 因为存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用
4、水量=10t+100，所以在选用第n级的进水量时，t时刻水的存有量为y=10nt-10t-100+100(0t16).(2) 要使水搭中水不空不溢，则0y300，问题转化为确定n，使010nt-10t-100+100300在(0t16)上恒成立，即+1n+1对一切0t16恒成立.令=x，x，则上式转化为-10x2+10x+1n20x2+10x+1对一切x恒成立.由于g(x)=20x2+10x+1在，h(x)=-10x2+10x+1在，所以.又因为MSN(0，180)，所以MSN0，即1 600-4 0000，化简，得5+2-70，即，可得n5，所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.图
5、象分析法：即通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题的数学模型的方法例1某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)所示的抛物线段表示.(1) 写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系Q=g(t)；(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天) 图(1) 图(2)(例1)【分析】(1) 观察图象求出市场售价函数P=f(t)
6、和种植成本函数Q=g(t).(2) 由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数h(t)=f(t)-g(t).【解答】(1) 由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=+100，0t300.(2) 设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=当0t200时，配方整理得h(t)=-(t-50)2+100，所以当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
7、.练习某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息).已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)的关系用图中的一条折线表示.职工每人每月工资600元，该店应交付的其它费用为每月13 200元.(练习)(1) 若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2) 若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元?【解答】(1) 设该店每月的利润为S元，有职工m名，则S=q(p-40
8、)100-600m-13 200.又由图可得q=所以当40p58时，S=(-2p+140)(p-40)100-600m-13 200，当58p81时，S=(-p+82)(p-40)100-600m-13 200.由题设知，当p=52时，S=0，即(-252+140)(52-40)100-600m-13 200=0，解得m=50，即此时该店有员工50人.(2) 由题意知S=当40p58时，求得当p=55时，S取最大值7 800(元)；当580)，设P(x，y)(0x)，圆柱底面半径为r，体积为V，则PE=，2r=AE=x，则r=，所以V=r2l=x2.即V2=x4(4-x2).设t=x2(0，3
9、，则u=t2(4-t)，u=-3t2+8t=-3t，令u=0，得t=.当t3时，u0，u是减函数；当0t0，u是增函数，所以当t=时，u有极大值，也是最大值，所以当x= m时，V有最大值 m3，此时y= m.故裁一个矩形，两边长分别为 m 和 m时，能使圆柱的体积最大，其最大值为 m3.练习某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)(练习)【解答】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立平面直角坐标系.设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(-1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020).设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得PA=PC，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因点B比点A晚4 s 听到爆炸声，故PB-PA=3404=1 360.由双曲线定义知点P在以A，B为焦点的双曲线-=1上，依题意得a=680，c=1 020，所以b2=c2-a2=1 0202-6802=5340
