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1、【知识络构建】 【重点知识整合】 1空间几何体的三视图(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图2斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox，Oy，使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平平面；(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，且
2、长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一半；(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:;锥体的体积公式: ;台体的体积公式: ;球的体积公式: . (2)球的表面积公式: .【高频考点突破】考点一 空间几何体与三视图 1一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的 下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等” 2画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴 平行的线段长度不变，与y
3、轴平行的线段长度减半 例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 ()解析：如图所示，点D1的投影为点C1，点D的投影为点C，点A的投影为点B. 答案：D【方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系抓住“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断. 考点二 空间几何体的表面积和体积常见的一些简单几何体的表面积和体积公式： 圆柱的表面积公式：S2r22rl2r(rl)(其中r为底面半径，l为圆柱的高)； 圆锥的表面积公式：Sr2rlr(rl)(其中r为底面半径，l为母线
4、长)； 圆台的表面积公式：S(r2r2rlrl)(其中r和r分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长)； 柱体的体积公式：VSh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式：VSh(S为底面面积，h为高)；台体的体积公式：V(SS)h(S、S分别为上、下底面面积，h为高)；球的表面积和体积公式：S4R2，VR3(R为球的半径)例 2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 () A6 B9C12 D18解析：由三视图可还原几何体的直观图如图所示此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3，高为的长方体，所求体积V339.答案：B【方法技巧】1求三棱
5、锥体积时，可多角度地选择方法如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法 2与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量 3求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 4对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理. 考点三 球与空间几何体的“切”“接”问题1长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径 2正方体的内切球其棱长为球的直径 3正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线 4正四面体的外接球与内切球的半径之比为31. 例3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为_【
6、方法技巧】1涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题 2若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，则4R2a2b2c2(R为球半径)可采用“补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理 考点四 空间线线、线面位置关系(1)线面平行的判定定理：a，b，aba. (2)线面平行的性质定理：a，a，bab. (3)线面垂直的判定定理： m，n，mnP，lm，lnl. (4)线面垂直的性质定理：a，bab. 例4、如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是 棱AP，AC，BC
7、，PB的中点 (1)求证：DE平面BCP； (2)求证：四边形DEFG为矩形； (3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由 解：(1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点， 所以DEPC. 又因为DE平面BCP， 所以DE平面BCP. (2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点， 所以DEPCFG，DGABEF. 所以四边形DEFG为平行四边形 又因为PCAB， 所以DEDG. 所以四边形DEFG为矩形 (3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分别取PC，AB的中点M，N
8、，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG，所以Q为满足条件的点【方法技巧】1证明线线平行常用的两种方法： (1)构造平行四边形； (2)构造三角形的中位线 2证明线面平行常用的两种方法： (1)转化为线线平行； (2)转化为面面平行 3证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直. 考点五 空间面面位置关系1面面垂直的判定定理：a，a. 2面面垂直的性质定理： ，l，a，ala. 3面面平行的判定定理： a，b，abA，a，b. 4面面平行的性质定理： ，a，bab
9、. 5面面平行的证明还有其它方法：，(2)a、a .例5、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证： (1)直线EF平面PCD； (2)平面BEF平面PAD. 【证明】(1)如图，在PAD中， 因为E，F分别为AP，AD的中点， 【方法技巧】1垂直问题的转化方向 面面垂直线面垂直线线垂直主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明具体如下： (1)证明线线垂直：线线垂直的定义；线面垂直的定义；勾股定理等平面几何中的有关定理 (2)证明线面垂直：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；面面垂直的性质定理 (3)证明面面垂直：面面垂直的
10、定义；面面垂直的判定定理 2证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面. 例6、如图，平面 PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为 PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10. (1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE； (2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE. 【证明】(1)如图，连接OP，以点O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4
11、,3)，F(4,0,3) 【方法技巧】1用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了把几何问题代数化尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷但是向量法要求计算必须准确无误 2利用向量法的关键是正确求平面的法向量赋值时注意其灵活性注意(0,0,0)不能作为法向量. 考点七 利用空间向量求角1向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos|cosa，b|.2向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin|cosn，a|.3向量法求二面角：求出二面角l的两个半平面与的法向量n1
12、，n2，若二面角l所成的角为锐角，则cos|cosn1，n2|；若二面角l所成的角为钝角，则cos|cosn1，n2|.例7、如图，在四棱锥PABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是菱形， AB2，BAD60. (1)求证：BD平面PAC； (2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值； (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长 (3)由(2)知(1，0)设P(0，t)(t0)，则(1，t)，设平面PBC的一个法向量m(x，y，z)，考点八 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“
13、是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法例8、如图，在三棱锥 PABC中，ABAC，D为BC的中点， PO平面ABC，垂足O落在线段AD上 已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)证明：APBC； (2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由 解：(1)证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.即可取n1(0,1，)由即得可取n2(5,4，3)由n1n20，得430，解得，故AM3.综上所述，存在点M符合题意，AM3.【难点探究】难点一空间几何体的表面积和体积例1、（1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328C488 D80(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A12 B18C942 D3618【答案】（1）C(2)B【解析】 (1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为S2(24)44
