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1、专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（ 或 ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 2，椭圆的离心率为，则 解析当焦点在轴上时，； 当焦点在轴上时，综上或33，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是4，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为 解析由，椭圆的离心率为5，已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为6，设椭圆=1（ab0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率1，在ABC中，如果一个椭圆过A、B两
2、点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率 2， 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) 解析 3，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果MF=MO，则椭圆的离心率是4,椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？解：F1F2=2c BF1=c BF2=c c+c=2a
3、 e= = -1 变式（1）：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则OF2=OF1=OP,F1PF2 =90图形如上图，e=-1 变式（2） 椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 X轴，PF2 AB,求椭圆离心率？ 解：PF1= F2 F1=2c OB=b OA=a PF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=变式(3):将上题中的条件“PF2 AB”变换为“(为坐标原点)” 相似题：椭圆 +=1(ab 0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点
4、，ABF=90，求e? 解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)变式(1):椭圆 +=1(ab 0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。性质：（1）ABF=90（2）假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式(2): 椭圆(ab0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形AB
5、CD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e = 提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，由面积得：，但4，设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。解：设法1：利用椭圆范围。由得，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得。由椭圆的性质知，得。附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似）法2：判别式法。由椭圆定义知，又因为，可得，则，是方程的两个根，则解法3：正弦定理设记 又因为，且 则 则， 所以解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得解法6：巧用图形的几何特性由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆
6、与椭圆有公共点P，故有变式(1)：圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2 =5PF2F1 ,求椭圆的离心率e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理： = 根据和比性质：= 变形得： =ePF1F2 =75PF2F1 =15 e= =点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=变式(2)：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且F1PF2 =60，求椭圆离心率e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设F1F2P=，则F2F1P=12
7、0- e= eb 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足12 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？F2MF1O分析：12 =0以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：c2c2 0eb 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L：x=上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。MPF2F1O 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 则1 =-( +c, y0 )
8、 2 =-( -c, ) 12 =0( +c, y0 ) ( -c, )=0 ( +c)( -c)+ =0a2-3c20 e1解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 则2c-c 3c 3c2a2 则eb 0)，过左焦点F1 且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点，若F1A=2BF1,求椭圆的离心率e的值解：设BF1=m 则AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e=练习题：1，椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心率.解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是2，在中，若以
9、为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 解析3，已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _. 解析 三角形三边的比是4，在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 解析5， 在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 ，6，已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 在中，由正弦定理得，则由已知，得，即，由椭圆的定义知 ，即，由解法三知椭圆的离心率。7，已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中，则该椭圆的离心率的取值范围为 解析：设，则，而,的最大值为，8，在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 9，设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（A）必在圆内必在圆上必在圆外以上三种情形都有可能
