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1、word第13讲关于“确定毒品走私船位置问题的数学模型苏淳本讲介绍AMCM-88问题A与其解答，这是一个关于搜索走私船的问题，是由美国加州Claremont Mxckenna 学院的J.A.Ferling提供的.供题人提到：“这是一个分类分组问题的修正简化形式，原问题和现在简化的问题都还没有一种的最优解法.因此我们这里所介绍的解答只能是相对最优的.这个问题的内容是：确定毒品去私船的位置和119处见图，测向仪的精度为2.该讯号来自一个毒品交换活跃的地方，据推测该处有一只机动船正等着有人来取毒品.当时正值黄昏、无风、地潮流，一架小型直升飞机离开监听站的简易机场并能准确地沿111探照灯.在200英尺
2、远的地方探照灯只能照明半径为25英尺的圆域.1、说明飞行员能找到正等着的毒品船的最小区域.2、研究一种直升飞机的最优搜索方法.在你的计算中要有95%的精度.关于这个问题，在AMCM-88中一共收到了81篇论文，其中有两篇被列为优秀论文，我们在此介绍其中的一篇，材料取自The UMAP Journal,Vol.9(1988),No,4,p319338，并参阅了清华大学应用数学系宋斌恒的译文发表于工科数学专辑：“数学建模教育与国际数学建模竞寒赛，叶其孝主编，1994年8月，某某.1概述有两个监听装置接收到了发自海洋中某处的同一无线电信号，认定信号来自一艘等待交接毒品的走私船.问：在没有雷达帮助的情
3、况下，如何派一架直升飞机前往搜索以找到走私船？根据对走私船逃跑方式的不同假设，作者们主要引入了两种不同的数学模型，并给出了不同的搜索方案.模型一假设走私船将沿着与直升机飞行线路相垂直的方向逃走，船无运动尾波.在该模型中，把船所可能在的地方视为一条射线即船意沿着某一固定方向运动，而直升机如此意是朝走私船停留可能性最大的区域飞行.模型二假设船在刚一听到直升机的声音时就开始逃走，且留下尾波.直升机将沿之字形路线搜索留有尾波的区域.但因航程有限，直升机不能在搜索完该区域后返航，这是这个模型的弱点.尽管如此，作者计算明确，用此方法仍有91%的可能性发现走私船.因此作者认为仍以此方案为最优，并且认为，假如
4、能装上雷达或增加直升机的航程，如此会使找到走私船的可能性非常接近于100%.此外，作者们还讨论了其他各式各样的模型，简要地分析了它们的优缺点，这此模型包括不同的逃跑方式和各种不同的搜索路径.这些模型中最根本的要素是：能否发现船的尾波.如果风平浪静，如此尾波极易被发现；但如果有点小风，如此尾波会被掩盖在其他波之中.2模型的假设条件作者们根据各方面的有关知识以与所了解到的有关情况，对模型提出了如下一些假设：1、角度分布是正态的.2、直升机同小的军用直升机OH58Kiowa相似.a、缉私人员可发现在探照灯覆盖的以200英尺为半径的圆内所有物体；b、航速140.4英里/小时，航程287.5英里；c、直
5、升机不返回基地加油，因为毒品可能在直升机返航时转移；d、飞行高度不变.3、毒贩在看到直升机或探照灯之前可以听到直升机的声音.4、缉私人员不能发现在探照灯X围外的船.5、走私船可能用以下三种方式逃跑：a、沿随机方向；b、沿与第一次传来直升机声音的相反方向；c、沿与直升机飞行路线的垂直方向.6、船可能或不可能产生尾波，假如产生：a、船不能在水上滑飞；b、可探测到的三种尾波0，；c、尾波在无限长时间内存在d、尾波在船的初始位置之后不扩散；e、尾波以等速向前推进.3概率分析作者假定雷达探测器接收器所观察的角度服从正态分布.周知，均值为，标准差为的正态分布的密度函数为而落在以均值为中心，长度为4的区间的
6、区间内的概率为95%.既然题中指出探测器的精度是，因此如果将其理解为的区间是95%的置信区间，如此明确分布中的标准差.因此，两个观察站所测量的角度分别具有密度函数由于两个观察站的观察是相互独立地进展的，所以与是相互独立的随机变量，因此它们的联合密度为与的乘积，即在这里，作者们将海岸线取为轴南北走向，并将北边的一个观察站取为原点0，0，于是另一个观察站位于点0，-5.4处见图13-2，并且和都是与轴正方向的夹角.作者们还算出了各条射线之间的交点坐标以与各有关线段的长度参阅图13-2.按照前述假定，走私船落在X围内的概率为作者们将，换为坐标x,y来考虑，并且界出的一块区域，假定走私船落在这块区域中
7、的概率为1.图13-3.作者们用方格网覆盖所界出的区域，并在格子点上标出概率密度.图13-4中显示了不同阀值下的密度展布情况，图13-5中粗略地显示了密度曲面.4 对走私船逃脱可能性的分析作者们先对无尾波的情形作分析，按照走私船可能采用的3种逃跑方式分别考虑.1、逃跑方式A：沿随机方向.这时，船实际上是在乱跑，这种逃跑方式只有在难以确认进升机的飞行方向或者走私者恐慌时才会出现，一般来说不太会出现.如果走私船采用这种方式逃跑的话，除非它的逃走方向恰好垂直于直升机的飞行方向，否如此一般都会被发现.图13-5 联合密度三视图2、逃跑方式B：沿着与首次传来直升机声音的相反方向相近的方向逃跑.这时，船与
8、直升机的航线夹成一个很小的夹角.由于直升机上的探照洒探测的最大X围是225尺，所以飞机只能搜索般线两侧255尺的带状区域走廊中的目标.如果走私船在飞机赶到之前已离开此走廊，就不会被发现，为了算出逃脱的可能X围，作者考虑了图13-7中的临界情况：该走私船位于图中B点，直升机正沿着图中AC的方向飞行，当船首次听到直升机的声音时，据题意知AB=500尺.这时，走私船立即沿BD的方向逃窜.假定当直升机飞到C点时，船刚好抵达D点，且CD=225尺即船刚好到达不被发现的距离上.高BEACE为垂足，我们要来计算的值，这就是所谓的“逃跑距离.由于直升机的速度是走私船的3倍，所以假如令BD=，如此有AC=3，由
9、勾股定理得解此方程得解此方程得是射线，AC与射线BD的夹角.于是知逃跑距离= =500sin=15.36(尺)这就告诉我们，在逃脱方式B这下，只有在走私船距直升机航线大小153.6尺时才会被发现，否如此就会逃脱.据此，作者得出结论如下：在逃跑方式B之下，如果走私船原位于直升机航线为中心线的宽度为307尺的带状区域中，且在开始逃跑时与飞机的距离已不足693尺，才会被捕获.3、逃跑方式C：沿着飞机航线垂直的方向逃跑.作者们仍然考察了临界情形，如图13-8，船的逃跑路线BD垂直于直升机的航线AC，在开始时，有AB=500，并设BD=，AC=3,且CD=225尺，作者们利用勾股定理算得尺，因此得：图1
10、3-8 无尾波+逃跑方式，求逃跑距离所以在逃跑方式C之下，走私船仅在距进升机航线不足59.5尺的X围内才会被发现.作者据此得出结论：在逃跑方式C之下，如果走私船原位于直升机航线为中心的宽度为119尺=259.5的带状区域中，且在开始逃跑时与飞机的距离已不足881尺时，才会被抓获.在上述的讨论中均假定直升机沿直线飞行.如果飞机采用其他飞行路线，情况将会如何呢？4、逃跑方式C+“围栏式搜捕法作者考虑了两种形式的“围栏：螺旋形和之字形路线.当飞机沿“圆形路线飞行时参阅图13-9，飞机所飞行的距离与走私船所逃跑的直线距离之比为，因此飞机与船的速度之比为“灵敏度分析见下文后认为，此时飞机发现走私船的概率
11、近乎为0.作者们放弃上述考虑方式，而用“之字形搜索方式找到了一种有效的“围栏式方法是飞机按一定的角度图13-10中为来回折行，以保证发现听到了直升机声音的走私船，当折行的一侧恰好是船所在的一侧，如此可发现；反之，如此船可逃走.按条件概率计算，用之字形路线，在每一点上可有37%的机会抓住走私船，而有12%的机会让走私船听到声音而逃跑，但却有51%的机会走私舯根本不动，这一点将在后面讨论.由于抓住走私船的条件概率很低，作者们决定弃此法面不用.作者们在图13-11中显示了一种临界状态：当走私船走了距离进，直升机飞了的距离，由此解得，所以得折行的角度，这就是图13-10中所采用的角度.5、逃跑方式C+
12、“最大可能域搜捕法在“最大可能域搜捕法中，把走私船视为一个离飞机而去的向量；直升机如此朝着可能找到运动的或静止的走私船的概率最大的区域飞行.作者们用计算机模拟了这一动态策略，他们将区域离散为边长为333尺的方格网，并假设飞机和走私船由一个方格到另一个方格只沿南北方向或东西方向运动，他们经过3个多小时的模拟提出如图13-12所示的结果.由模拟时间过长，不会被缉私队员所采用，所以作者们认为此法不可行.他们认为一个可行的方法应当是易于实行，并且对初值依赖不大甚至是完全不依赖的.鉴于上述方法都不太好用，所以着重考虑如下的讨论.6、有尾波情形从现在起，假定走私船具有尾波.由于题目中假定了当时正值黄昏、无
13、风、无潮流，所以明确当时气候良好.因此假定走私船具有尾波且尾波能存在多时是合理的，在这样的假定之下，搜索者的工作变得非常的简单.因为当走私船听到直升面声音而开始运动时，直升机上的观察人员就可以观察逐渐扩散的尾波，而不仅仅是寻找一只小小的机动船了，作者们指出，按图13-13所示，在问题所要求的X围内呆以保证搜捕成功.假定走私船位于图中A点.如果直升机在图中B点处发现了走私船的尾波，船速为，而AB=，如此因机速为3故直升机在小时里可追上走私船，如此因故当，即时可追上船，所需时间为.作者们对直升机飞行时所产生的大量气流所可能造成的影响作了定性分析，认为它不会混淆由船所产生的较大的尾波，因此可以忽略.
14、接着作者们研究了逃跑方式B之下的情况，对其中的临界情况进展了讨论.如图13-14所示：直升机沿AC方向飞行，在A点处被船听到了声音，船原在B点处从而AB=500尺，船立即沿BD方向跳窜，直升机如此沿原航向飞行，假定直升机到达C点时恰好能观察到已逃到D点仍在继续逃窜中的船所造成的尾波.易知，当船速为时，有，.根据作者们的假设见“2模型的假设条件可知，这时直升机所观察到的是位于G点处的尾波，其中尺，我们要来计算此时的之值.根据图中所标注的字母，知：故得：即 另一方面，还有即 12，得解得，接着作者们用picard方法算得于是知逃跑距离为.这就是说，以飞机航线为中线的宽度为555尺的事状区域走廊是捕获区域.剩下的问题是如何尽早发现船的尾波，作者们建议采用如下的“之字形搜索路线.如图13-16所示，先让直升机自南而北穿越船可能在区域，到达区域北头后向东飞77.5尺，再自北面南穿越该区域，到达南头后再向东飞777.5尺，再自南而北穿越该区域，如此往复.在这种搜索过程中，如果船在飞机某次穿越区域时听到声音而开始逃跑的话，那么飞机在下一次穿越区域时就会发现船的尾波，在这段时间内，船所能逃开的最大距离为7752尺，总计为4.6哩.此后飞机便跟踪追赶，在船至多再往前逃出1.6哩的距离上便会被追上，这一段时间不超过2分钟，尾波不会消失.现在回过头来看图13-2.显然刚刚所述的飞机所穿越的区域就是
