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1、思想方法系列二极限连续可导辨析在高中数学第三册（选修II）第三章导数与微分的学习过程中，不少同学对极限、连续、可导、最值等概念混淆不清，下面举例谈一谈这些概念间的区别与联系，以期对同学们的学习有所帮助。1. （1）是指x从点x0左侧（xx0）无限趋近于x0。而xx0是指x可以用任何方式无限趋近于x0，即可以从点x0的左侧无限趋近于x0,也可以从点x0右侧无限趋近于x0，还可以从点x0的两侧交错地无限趋近于x0等等，且有如下充要条件：(2) 存在与f(x)在x0处是否有定义无关，xx0是x取值无限地趋近于x0，不一定取到x0。例1 （1）设讨论f(x)在点x=0的极限；（2）已知,求；（3）设求
2、与f(0).解 （1）f(x)在点x=0处无极限，即不存在（但f(0)=0, f(x)在x=0处有定义）。2.函数f(x)在点x0处有极值与f(x)在点x0处连续（1）函数f(x)在点x0连续必须具备3个条件：（i）f(x)在点x=x0有定义；（ii）f(x)在点x=x0有极限；（iii）（2）极限是讨论函数在某一点附近变化的趋势，与函数在这点有无定义无关，但函数在某一点连续不仅要求该点有极限，而且要求函数在该点的极限值等于函数值（即函数在此点必须有定义）。例2 图1中所表示的函数f(x)在x=a处是否连续。分析 （1）f(x)在x=a处连续。（2）在x=a处无定义，不连续。（3）,不连续。（
3、4）不存在，不连续。3.函数f(x)在点x0处连续与f(x)在点x0处可导函数f(x)在点x0处可导时必有点x0连续；函数f(x)在点x0连续不一定在点x0可导，即可导必连续，连续不一定可导。例3 已知函数f(x)在点x0可导，求证：f(x)在点x0连续。证明 函数f(x)在点x0可导，而 函数f(x)在点x0连续。例4 请举反例说明连续不一定可导。解 如函数f(x)=|x|=f(x)在点x=0连续。不存在，f(x)在点x=0不可导。4.极值与可导（1）函数极值的判定方法是：设f(x)在点x0连续。（i）若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是函数的一个极大值；（ii）若在
4、x0附近左侧f(x)0，那么f(x0)是函数的一个极小值。点x0是极值点的充分条件是该点附近两侧导数异号。（2）f(x0)存在时，x0是极值点的必要条件是f(x0)=0,即x0是f(x)的极值点f(x0)=0，反之不一定成立，例如f(x)=x3在x=0有f(0)=0，但x=0不是极值点。（3）不可导点可能是极值点，也可能不是极值点，故找函数的极值点应该从f(x)=0的根和不可导点两方面去检验。例如y=|x|, x=0是极值点，但函数在x=0不可导；不是极值点，函数在x=0也不可导。5.极值与最值（1）极值是就某点附近而言，是一个局部性概念，在某区间内，极值可以有多个，极大值也不一定比极小值大，
5、极大值与极小值两者没有必然联系，最值是一个整体性概念，在某区间内函数的最值若存在，则必是唯一的，且最大值一定大于最小值。如图2所示，在区间a, b内，函数在点x=x1, x=x3, x=x5取得极小值，在x=x2, x=x4取到极大值，而最值得惟一的，分别在x=x1取得最小值，x=b取得最大值。（2）极值点x0是区间a, b内部的点，不会出现在端点a, b，而最值点可能在端点x=a或x=b取到。故区间上的单调函数一定没有极值，而闭区间上的连续函数必存在最值。（3）极值有可能成为最值，最值点只要不在端点，必是极值点；（4）求函数最值的步骤是：设f(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导。（i
6、）求f(x)在(a, b)内极值；（ii）将各极值与端点值f(a), f(b)比较，最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。例5 已知f(x)=ax3-6ax2+b在-1, 2上最大值是3，最小值是-29，求a，b值。解 显然a0，否则f(x)=b，不可能有最大值3，最小值-29.f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).由f(x)=0, 得x1=0, x2=4（舍去）。当a0时，x-1(-1,0)0(0,2)2y+0yb-7abb-16ab-16ab-7ab,f(x)max=f(0)=b=3,f(x)min=f(2)=b-16a=-29.解得a=2, b=3.当a0时，同理可求得a=-2, b=-29.
