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1、离散型随机变量典型题1.有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号 x,然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为y,记 xy。(1)求的分布列；(2)求E和D 。解：(1) 可能取白值为0、1、2、4。(2分)且P( 0)5, P( 1)- , P( 2) - , P( 4)-(6 分)9999所求的分布列为：01245121 (8分)P9999, 一，5121(2)由(1)可知，E 0 5 1 1 2 2 4 1 1(11 分)9999D (0 1)2 9 (1 1)2 9 (2 1)2 2 (4 1)2 , 196(14
2、分)2 .(本题满分14分)甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为E ;乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次为刀.(1)分别求E和刀的期望；解 E的可能取值为0, 1, 2, 3则E的分布列为则 EE 0 182则刀的分布列为所以八刀的数学期望分别为3 13/121111、(2) P” 刀尸一1 143、12181P 0, 2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自A胜，异色时为B胜.(1)用x、v、z表示B胜的概率；(2)当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？ 解：(1)显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件： A1： A、B均取红球；A2: “A、B均取白球”
3、；A3： “A、x1y1z1P(A1)- -,P(A2)- -,P(A3)626366B均取黄球”P(A) P(A)P(A2) PA)3x 2y z36P(B)3x 2y z36(2)由(1)知P(A)3x 2y z一3x于是P(A) 3x2y z363612 x z又 x y z 6,x0,y 0,z 0个红球时，获胜概率最大，其值为36121, 八一，当 X 6, y2z 0,即A在箱中只放66 .某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是-,3(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；(2)若5人
4、中恰有r人合格的概率为-80-,求r的值；243(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差。解：(1)体育教师不坐后排记为事件 A,则P(A)3111o126(2)每位考生测试合格的概率-2 ，P-,测试不合格的概率为1380243 _._ r _ r则 P5(r)C5rPr(1 P)5 r80r 2 r 1 5 rC5 2，即 C5 (-)r(-)5 r2433 335C5r2r 80, r 32 : B(5,二)32 1103 3 92 10E 5 - , D 5337.袋中有1个白毛和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止 (I)当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与
5、方差；(n)当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差。解(I)当每次取出的黑球不再放回时,设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回，所以的可能取值为1, 23,4, 5,易知P(1)P(2)5,P(3)c4Cc3CP(4)Cc5Cc4C21c3 c25,P(5)Cc5Cc4Cc31CI12345P1515151515故随机变量的概率分布列为：(4 3)2(53)21 5 55(2211 3,D(15120212(n)当每次取出的黑球仍放回去时，设随机变量仍放回去，所以的可能取值是一切正整数，P(所求概率分布为11E k (4)k 1k 155_5 51154 25(1 -
6、)534 2(5)8.如图，一辆车要直行通过某十字路口,3)222)12 121(2 3)2 1(3 3)2552.6分是取球次数，因为每次取出的黑球4 k 1 1k) ( )k1,k 1,2,L L55n4 n 1 (J51 5, D E 2 (E )2 k2 5k 1这时前方刚好由绿灯转为红灯车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)20.5(41(一)55.该车前面已有 4辆.已知每辆车直行的概率为2 ,左转行驶的概率 1 .该路口红绿灯转换间隔均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出33停车线需要10秒，一辆左转行驶的车驶出停车线需要20秒.求：(1)前面4辆车恰有2辆左
7、转行驶的概率为多少?(2)该车在第一次绿灯亮起的1分钟内能通过该十字路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)(3)假设每次由红灯转为绿灯的瞬间，所有排队等候的车辆都同时向前行驶，求该车在这t,则十字路口候车 时间的数学期望。 / I(1) C2(2)2(l)2 -8-(4分)3327(2) C4(2)4 C3(2)3(1) 16(8分)33327(3) 设该车在十字路口停车等候时间为时间t(min)13概率P16271127 161149.则停车时间的数学期望为1 16 3 11 29min.(13分)2727 279.某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率
8、为1 一 、， 一 . 一 *-,于是该学习团队分两个小组进行验证性实验2(I )第一小组做了 5次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子)，求他们的实验至少有3次成功的概率；(n)第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子)，如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验.直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次.求这一小组所做的种子发芽实验次数的分布列和期望。解：(I )至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即:4C53(2)3(1 1)2 C；(1)4(1 1) C5(2)5 0.5(n )依题意有:12345P11111248161663 1415 116
9、163116410.从分别写有1, 2,3, 4,5,6,7,8,9的九张卡片中，任意抽取两张，计算:(I)卡片上的数字都是奇数的概率;(H)当两张卡片上的数字之和能被3整除时，就说这次试验成功，求在15次试验中成功次数的数学期望。(n) 一次试验成功的概率为cl c3C321._1,从而：B 15,- ，故33E np 155。36题，2题才11.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对算合格。(I )求甲答对试题数的概率分布及数学期望。(n)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。解：(I)依题意，甲答对试题数的概率分布如下：甲答对试题数的数学期望:E 0 130(n)设甲、3 c 1 o 123 -1026乙两人考试合格的事件分别为A、B则 P(A)c62c C3C3060 2012080120P(B)CgC2 C3C3056 5612011212014159分(文6分)0123p1311301026甲、乙
