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1、乒乓球飞行运动学模型的建立与仿真姜付高1李祥晨 21曲阜师范大学体育教研部（日照校区）日照 276826 2国家体育科学研究所体育系统仿真实验室，北京 100061摘要：本文应用流体力学原理，分析了乒乓球在飞行中的运动状况，建立了它的运动方程 最后，应用 Matlab6.5 仿真技术，对理论模型进行了分析与论证。 关键词：乒乓球；运动；仿真Flight Simulation of Pingpong BallLi Yan-feng1,2 , Li Xiang-chen1, Xiao Shu-ming1, Pan zhi-geng2，3(1 Sports System Simulation Lab
2、 of CISS ，Beijing, 100061)2 VR & Multimedia Lab， Hangzhou Institute of Electronic Engineering，Hangzhou，310018)Abstract: According to mechanics of fluids, after analyzing the flight track of the Ping-Pong ball, we set up the motion equations of the movement of the ping-pong ball. By the means of simu
3、lation technology, the equations are discussed and validated.Keywords: Ping-Pong; Flight; Simulation1 前言乒乓球被誉为我国“国球”，在历届奥运会和世界锦标赛上，我国乒乓球队都取得了骄 人的战绩，创造了一个又一个奇迹，为我国赢得了荣耀。但是，在这些光环的背后，运动员 需要付出常人难以想象的劳动。特别地，为了应对对手的战术，运动员往往针对某一特定技 术动作进行长期的反复练习。而为了达到特定训练效果，常常需要一个陪练梯队做出默默无 闻的牺牲。为了提高训练的强度和效益，为了提高训练的科技含量，我们提出
4、研究可以模拟对手发 球和击球机器人的设想。机器人要实现模拟各种发球和击球的动作，需要深入了解乒乓球的 飞行特性。本文着重分析了乒乓球的飞行轨迹，结合空气动力学，建立了乒乓球飞行的运动学模型， 应用MatLab6.5对乒乓球的运行轨迹进行了仿真试验从而检验方程的正确性。2 研究方法2.1 数学建模，结合空气动力学建立了乒乓球空中运动方程。2.2 数值仿真，利用 MatLab6.5 进行模拟仿真实验验证方程。3 运动学方程的建立3.1 乒乓球受力分析（1）重力 G = mg。在乒乓球飞行的过程中，将始终受到重力的影响，方向竖直向下；（ 2 ） 空气阻力 R。因为乒乓球的直径为d,旋转速度为3,空气
5、粘滞系数为n （如表1）,空气密度p,球体向前平动速度为V，球体受到空气阻力与平动速度的关系取决于雷诺数R。e表 1 不同温度下空气粘滞系数温度（C）粘滞系数017.2 X10-61017.8 X10-62018.3 X10-63018.7 X10-64019.2 X10-65019.6 X10-66020.1 X10-6作为估计1,取n =18.1 X10-6Pa sp =1.205kg m-3v=25m/sR = p Dv / 卩e所以,雷诺数：Re=1.205 X (40 X 10-3) X25 / (18.1X10-6)R 6.66xl05 e 故阻力的大小与平动速度 v 的平方成正比
6、2。1R = CpAv 22令1k = C p A2其中，p为空气密度，A为乒乓球的横截面积，C为与乒乓球几何形状有关的阻力系数,取C=0.2【3(参考霍尔纳的著作。因此，以上公式可以简写为：R = kv 21R = x 0.2 x 1.205 xx x 0.02 2 v22R = 0.000151 v2(3) 乒乓球旋转造成的马格努斯力 FL 乒乓球在空中运动过程，可以看作在分布均匀的球体在流体中的运动过程。一般说来， 在流体中的物体运动要受到升力、阻力和侧压力等作用。具体来说，就是当乒乓球旋转时， 在其周围的附面层内产生了环流，前方来流和环流共同作用的结果就是在来流和环流同向的 一侧流速加
7、快，在反方向的另一侧，流速减慢。根据伯努利原理，流速加快的一侧压力下降 流速减慢的一侧压力升高，两侧的压力差对乒乓球产生侧向作用称为马格努斯力，该力作用 方向与乒乓球的瞬间转轴垂直，且与乒乓球的运动方向垂直(如图 1)。因为乒乓球直径、旋转角速度、空气密度及相对球而言的流速分别为D, , p , v，由儒可夫斯基环流理论4 5，可求出马格努斯力为：8DF = _叩 ()3 vL 32F = Tip Dv /3 L因此F = 0.05047492 1 v L3.2 模型建立以乒乓球台的底端边为x轴，垂直台面方向为y轴，底端边中心点为原点O做平面, 过O点作x-y平面的垂线为z轴，建立空间坐标系，
8、如图2。根据牛顿第二定律F = ma可以推出如下运动方程：x卩y卩cos 0 sin 9sin 0cos 0 cos 9sin a sin 0 cos 9 + cos a cos 9sin a cos 0sin a sin 0 sin 9 cos a sin 9010RFLGX_V 一Xz=VyzV其中， m 表示乒乓球的质量； V 、V xy、Vz分别表示乒乓球的平移速度在x、y、z方z向上的分量；0为轨迹角，是乒乓球速度方向与XZ平面成角；9为方位角，是乒乓球速度 在XZ平面上投影与Z轴正方向成角；a为倾侧角，是Fl力与其在XZ平面上的分量所成角 度（图3）； R表示乒乓球所受空气阻力；f
9、表示乒乓球所受马格努斯力；G表示乒乓球所受重力；LX、y、z表示乒乓球所在的空间位置。y图3 角度关系4 乒乓球运动仿真的实现本文应用 MATLAB 实现了对乒乓球飞行轨迹的仿真显示。4.1 乒乓球运动轨迹控制参数的确定为了实现乒乓球运动轨迹的仿真，根据前面所述乒乓球运动方程模型，需要首先确定决 定乒乓球运动轨迹的一些参数。这些参数包括：乒乓球在球体脱离球拍或发球装置时的空间位置S（x ,y, z）、平移运动速度V、旋转运动速度以及运动初始时的轨迹角、方位角90 0 0和倾侧角a 。0根据平移运动速度V和o、9、a三个角度就可以得到乒乓球载初始状态下在三个 0 0 0 0坐标轴方向上的分量。参
10、数之间的关系如下：V = ：V 2 + V 2 + V 20x 0y 0z 0Vtg 9= rr0Vz0Vtg 0 = sin 90 V0x0 在运动过程中，相应参数的更新也采用上面的公式获取。由于乒乓球在接触球台之前在空中运行的时间较短，可以假定在这个过程中旋转运动速度保持不变。此外，在仿真过程中可以设定仿真飞行时间的长短。4.2 仿真的实现为了观察的真实性和描述地直观性，对乒乓球运行轨迹的描绘方式分为火柴杆图（如图 4 ）和曲线图（如图 5 ）两种。在火柴杆图方式中，通过给出轨迹上每个位置到球台台面 的垂线，得到该位置在台面上的投影，同时，垂线的高度表示乒乓球在该位置距离台面的高 度，从而
11、运行轨迹更具有三位空间立体感，显示更加直观。在曲线图方式下，通过不同的观 察视角，使得在观察球体在轨迹中各点处的空间走向更为方便。图 4 火柴杆图图 5 曲线图根据对乒乓球运行轨迹进行时分析方法的不同，设计了两种轨迹显示方式：实时绘制与 后台处理集中绘制。应用实时绘制方式，随着时间的推移，逐一在相应位置绘出乒乓球，这 样可以更好地模拟球在空中的飞行过程，更符合观察者的直觉效果。集中绘制方式，即一次 性的绘制出乒乓球的飞行轨迹曲线，便于得到轨迹的整体效果。根据本文中推导出的运动方程模型，在程序中通过设定不同的参数，得到一系列的运行 轨迹图形,从理论上验证了模型的正确性。图 6-图 8 给出了一些
12、仿真得到结果。图 6 右前上方无旋转球轨迹图 7 右前上方左旋转球轨迹5 结论1) 根据空气动力学和流体力学理论建 立了乒乓球的空中飞行运动方程，并 通过 MatLab6.5 进行了数值仿真，从 主观上验证了它的正确性。2) 该研究进一步揭示了乒乓球飞行的 规律，为深入研究乒乓球运动项目的 制胜规律提供了一条新的思路。3) 为乒乓球机器人发球动力学的研究提供了基础。4) 通过实地测量实验与仿真试验进行比较和修正数学模型是下一步工作。参考文献1 葛隆祺，叶卫军，足球旋转的运动规律J物理通报.1992(2): 7-82 朱照宣，周起钊，殷金生，理论力学:上册M.北京大学出版社，1982:2583 霍尔纳的著作4 赵凯华，罗尉茵.力学M.高等教育出版社,1996. 240-242刘大为.球体飞行轨迹异常的探讨J.大学物理,1987(1)： 43-45作者简介：姜付高，男， 1972，山东青岛人，硕士，讲师，研究方向体育管理与系统工程。
