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1、第章习题9-11.鉴定下列级数的收敛性：（) (a）； （2） ;（3); (4) ;（5) ； () ;(7) ; (8) 解：()该级数为等比级数，公比为,且,故当，即时,级数收敛，当即时,级数发散. （) 发散.()是调和级数去掉前3项得到的级数，而调和级数发散,故原级数发散(）而,是公比分别为的收敛的等比级数，因此由数项级数的基本性质知收敛,即原级数收敛(）于是 故,因此级数发散. （6) 不存在,从而级数发散.(7） 级数发散.(） ，故级数发散. 鉴别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ; （2) ;(3) ； (4) 解：(1)都收敛，且其和分别为1和,则收敛，且其和为+=
2、.() 故级数收敛,且其和为.(）,而，故级数发散.(4），而,故不存在,因此级数发散3设 (Un）加括号后收敛，证明亦收敛证：设加括号后级数收敛，其和为S考虑原级数的部分和,并注意到,故存在,使又显然对一切成立,于是,是单调递增且有上界的数列,因此,极限存在,即原级数亦收敛. 习题921鉴定下列正项级数的收敛性：（1) ; (2) ;（3) ; () ;(5) （a); （） (a, b0）;(7) (a0); () ;(9) ; （) ;(1); (12) ；(13） ; (14） ;(15) ； (1） .解:（）由于而收敛，由比较鉴别法知级数收敛. （2）由于，故原级数发散 （3）由于
3、,而发散，由比较鉴别法知，级数发散(4）由于,而是收敛的级数,由比较鉴别法知,级数收敛.（5)由于 而当时,收敛,故收敛; 当时,= 发散,故发散； 当时，故发散;综上所述,当时，级数发散，当时,收敛. (6)由于而当时, 收敛，故收敛;当时，发散，故而由, ，故也发散; 当时，故发散;综上所述知，当时,级数发散;当b时，级数收敛 (）由于 而发散，故级数发散. (8）由于而收敛,故级数收敛.(）由于由达朗贝尔比值鉴别法知,级数发散（0）由于，由达朗贝尔比值鉴别法知,级数发散. (11）由于 ，由达朗贝尔比值鉴别法知原级数收敛.（12)由于，由达朗贝尔比值鉴别法知,级数收敛(1)由于由 知由达
4、朗贝尔比值鉴别法知，级数收敛.(14）由于,由柯西根值鉴别法知级数收敛.(5）由于而是收敛的等比级数，它的每项乘以常数后新得级数仍收敛，由比较鉴别法的极限形式知，级数收敛 （16）由于而与（2)题类似地可证级数收敛，由比较鉴别法知级数收敛.2. 试在(0,)内讨论在什么区间取值时,下列级数收敛：() ; (2) 解：(1）由于由达朗贝尔比值鉴别法知,当时,原级数发散;当时,原级数收敛;而当时，原级数变为调，它是发散的综上所述,当时，级数收敛. （2）由于,由达朗贝尔比值鉴别法知，当即时,原级数发散;当即时，原级收敛.而当即时，原级数变为，而由知发散，综上所述,当时,级数收敛.习题931.鉴定下
5、列级数与否收敛,如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛:(1) ; （2);(); () ;（5) ; (6）;（7） 解：()这是一种交错级数, ， 由莱布尼茨鉴别法知又,由,及发散,知级数发散,因此级数条件收敛.(2）由于,故 而收敛，故亦收敛，由比较鉴别法知收敛,因此级数绝对收敛(3)由于而级数收敛,由比较鉴别法知收敛，因此,级数绝对收敛.（4)由于而收敛,由比较鉴别法的极限形式知，级数收敛,从而级数绝对收敛 (5）由于,而级数收敛的等比级数；由比值鉴别法,易知级数收敛,因而收敛,由比较鉴别法知级数收敛,因此原级数绝对收敛. （6）当为负整数时,级数显然无意义;当x不为负整数时,此
6、交错级数满足莱布尼茨鉴别法的条件，故它是收敛的，但因发散,故原级数当x不为负整数时仅为条件收敛 (7)由于由比值鉴别法知收敛(），从而由比较鉴别法知收敛,因此级数，绝对收敛. 2. 讨论级数的收敛性（p)解：当时，由于收敛,故级数绝对收敛.当时,由于 ,由莱布尼茨鉴别法知交错级数收敛,然而，当时，发散,故此时,级数条件收敛. 综上所述,当时,原级数条件收敛;当p1时，原级数绝对收敛.3.设级数及都收敛,证明级数及也都收敛证:由于 而由已知及都收敛，故收敛，从而收敛，由正项级数的比较鉴别法知也收敛,从而级数绝对收敛.又由及，以及收敛,运用数项级数的基本性质知，收剑,亦即收敛.习题9-4指出下列幂
7、级数的收敛区间:(1) (0!=1); (2) ;(3) ； (4).（5） ; （6） .解:(1）由于,因此收敛半径,幂级数的收敛区间为.(2)由于,因此收敛半径.当时，级数,此时，由于是单调递增数列，且1,从而,于是级数当xe时,原级数发散. 类似地,可证当e时，原级数也发散(可证）,综上所述，级数的收敛区间为(-e,e）.（3）由于,因此收敛半径为r=2当时,级数是收敛的一级数(p=21）；当=2时，级数是交错级数，它满足莱布尼茨鉴别法的条件,故它收敛.综上所述,级数的收敛区间为-2,2.(4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径,改用达朗贝尔比值鉴别法求收敛区间.令，则
8、.当时，即时，原级数绝对收敛.当时，即时,级数发散,从而发散，当时，级数变为；当时,级数变为;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨鉴别法的条件,故它们都收敛综上所述,级数的收敛区间为1,1.(）此级数为（x+2)的幂级数.由于因此收敛半径,即时，也即时级数绝对收敛.当即或时,原级数发散.当时,级数变为是收敛的交错级数,当x=时，级数变为调和级数,它是发散的.综上所述，原级数的收敛区间为-4，0).（6)此级数(x-1)的幂级数故收敛半径.于是当即时，原级数绝对收敛. 当即或时，原级数发散. 当时，原级数变为是调和级数,发散 当时，原级数变为,是收敛的交错级数.综上所述，原级数的收敛区间为.2. 求
9、下列幂级数的和函数:(1) ； (2) ；（) ; (4) 解：（1)可求得所给幂级数的收敛半径r=1设,则 又当x1时,原级数收敛,且在x1处持续. (2）所给级数的收敛半经1，设,当时，有 于是又当时，原级数发散.故 （3)可求所给级数的收敛半径为. 令 令,则 因此;因此且.当时，级数为和,它们都收敛且显然有.故(4)可求得所给级数的收敛半径为r且时，级数发散,设,则于是,即.因此 3求下列级数的和:(1) ； (2) ；() ; （) .解:（1)考察幂级数，可求得其收敛半径 ,且当时,级数的通项，,因而,故当时，级数发散，故幂级数的收敛区间为(-1，1)设,则令,则.再令,则.故，从
10、而有.于是 取,则.（）考察幂级数，可求得收敛半径r=1,设令,则.即 .于是 ,从而取则 （3）考察幂级数,可求得其级数半经为r=1,由于 令，则因此，于是 取，得. （4）考察幂级数,可求得其收敛半径r=1. 设 则.又设则.从而,取,则习题9-5.将下列函数展开成x的幂级数：(1) ; （); (3) ; (4） ; (5)解:(） （2） （) (4) （5） 2. 将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间:（1),在x0=； （2) cosx,在0；(),在0=1; (4) ,在0解：(）由于,而即).因此.收敛区间为：（，3）. （2) 收敛区间为. ()由且得,故收敛区间为(-，3）（4）由于 而 由得故收敛区间为（，6)
