《高二数学人教A版选修12训练：2.1.1 合情推理 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学人教A版选修12训练：2.1.1 合情推理 Word版含解析（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.1合情推理课时过关能力提升一、基础巩固1.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,得点P的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积为r2,猜出椭圆x2a2+y2b2=1(a,b0)的面积为S=abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案:B2.数列5,9,17,33,x,中的x等于()A.47B.65C.63D.128解析:5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.答案:B3.下列类比推理恰当的是()A.把a(b+
2、c)与loga(x+y)类比,则有loga(x+y)=logax+logayB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bnD.把a(b+c)与a(b+c)类比,则有a(b+c)=ab+ac答案:D4.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:由题意可知偶函数求导后都变成了奇函数,所以g(-x)=
3、-g(x),故选D.答案:D5.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示.按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+2解析:由图形的变化规律可以看出,后一个图形比前一个图形多6根火柴棒,第一个图形为8根,可以写成a1=8=6+2.又a2=14=62+2,a3=20=63+2,所以可以猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2.答案:C6.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为.解析:V1V2=13S1h113S2h2=S1S2h1h2=1412=18.答案:
4、187.观察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-14+15-16=14+15+16据此规律,第n个等式可为.解析:经观察知,第n个等式的左侧是数列(-1)n-11n的前2n项和,而右侧是数列1n的第n+1 项到第2n项的和,故为1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n.答案:1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n8.三角形与四面体有下列相似性质:(1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端
5、点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质,填写下表:三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三条边长的一半,且平行于第三条边三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心解:三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三条边长的一半,且平行于第三条边四面体的中位面的面积等于第四个面的面积的14,且中位面平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面
6、角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心9.如图,已知O是ABC内任意一点,连接AO,BO,CO,并延长交对边于A,B,C,则OAAA+OBBB+OCCC=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”:OAAA+OBBB+OCCC=SOBCSABC+SOCASABC+SOABSABC=SABCSABC=1.运用类比猜想,对于空间中的 四面体V-BCD,存在什么类似结论?并用“体积法”证明.解:如图,设O为四面体V-BCD内任意一点,连接VO,BO,CO,DO,并延长交对面于V,B,C,D,类似结论为OVVV+OBBB+OCCC+ODDD=1.证明如下:因为VO -BCDVV -B
7、CD=13SBCDh13SBCDh=OVVV(其中h,h分别为两个四面体的高),同理VO -VCDVB -VCD=OBBB,VO -VBDVC -VBD=OCCC,VO -VBCVD -VBC=ODDD.所以OVVV+OBBB+OCCC+ODDD=VO -BCDVV -BCD+VO -VCDVB -VCD+VO -VBDVC -VBD+VO -VBCVD -VBC=1.10.已知sin230+sin290+sin2150=32,sin25+sin265+sin2125=32,sin221+sin281+sin2141=32.通过观察上述等式的规律,写出一般性规律的命题,并给出证明.解:等式左边
8、是三个角的正弦的平方和,且三个角成公差为60的等差数列,等式右边都是32,所以得一般性规律的命题为sin2+sin2(+60)+sin2(+120)=32.证明如下:sin2+sin2(+60)+sin2(+120)=1-cos22+1-cos(2+120)2+1-cos(2+240)2=32-cos2+cos2cos120-sin2sin120+cos2cos240-sin2sin2402=32-cos2-12cos2-32sin2-12cos2+32sin22=32. 二、能力提升1.由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则:“mn=nm”类比得到“ab=ba”;“(mn)t=m(
9、nt)”类比得到“(ab)c=a(bc)”;“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”;“acbc=ab”类比得到“acbc=ab”.其中类比结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由向量的有关运算法则知正确,都不正确,故应选A.答案:A2.已知bn为等比数列,b5=2,则b1b2b3b9=29.若an为等差数列,a5=2,则an的类似结论为()A.a1a2a3a9=29B.a1+a2+a9=29C.a1a2a9=29D.a1+a2+a9=29解析:等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算,从而有a1+a2+
10、a9=2+2+29个=29.答案:D3.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:则下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是()A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)解析:由可归纳得出,符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,则表示A*D的是图形(2),表示A*C的是图形(4),故选C.答案:C4.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,f(1)=2,则f(2 019)等于()A.13B.2C.132D.213解析:f(x)f(x+2)=13,f(1)=2,f(3)=1
11、3f(1)=132,f(5)=13f(3)=2,f(7)=13f(5)=132,f(9)=13f(7)=2,归纳得f(2n-1)=2,n为奇数,132,n为偶数.f(2 019)=f(21 010-1)=132.故选C.答案:C5.设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,T16T12成等比数列.解析:将等差数列中的运算类比等比数列中的运算时,加法类比于乘法,减法类比于除法,故可得类比结论为“设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,T8T4,T12T8,T16T12成等比数列”.答案:T8
12、T4T12T86.设n是正整数,f(n)=1+12+13+14+1n,计算得f(2)=32,f(4)2,f(8)52,f(16)3.观察上述结果,可推测一般性的结论是.解析:由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为n+22,即一般性结论为f(2n)n+22.答案:f(2n)n+227.已知数列an的前n项和为Sn,a1=-23,且Sn+1Sn+2=an(n2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.解:Sn+1Sn+2=an(n2),Sn+1Sn+2=Sn-Sn-1(n2),即1Sn=-2-Sn-1(n2).当n=1时,S1=a1=-23;当n=2时,1S2=-2-
13、S1=-43,S2=-34;当n=3时,1S3=-2-S2=-54,S3=-45;当n=4时,1S4=-2-S3=-65,S4=-56.猜想Sn=-n+1n+2,nN*.8.已知椭圆具有以下性质:M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,则kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)写出具有类似特征的性质,并加以证明.分析:本题考查类比推理,抓住椭圆和双曲线同属于圆锥曲线而具有的相似性质,从而得到结论.解:类似的性质为:已知M,N是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,则kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则点N的坐标为(-m,-n).点M(m,n)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,m2a2-n2b2=1,得n2=b2a2m2-b2.同理y2=b2a2x2-b2.y2-n2=b2a2(x2-m2).kPMkPN=y-nx-my+nx+m=y2-n2x2-m2=b2a2x2-m2x2-m2=b2a2(定值),即kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.
