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1、新高考数学复习考点知识培优专题讲解专题26 构造函数法解决导数问题一、多选题 1函数在上有唯一零点，则（ ）ABCD【答案】ABC【分析】由，可得出，令，利用导数得出函数在上为增函数，再令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可求得，可判断ACD选项的正误，再结合函数的单调性可判断B选项的正误.【详解】由，可得，即，令，其中，则，所以，函数在区间上单调递增，则，令，其中，.当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.所以，.若函数在上有唯一零点，则.所以，由于函数在上单调递增，即，所以，ABC选项正确，D选项错误.故选：ABC.【点睛】利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的
2、单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.2已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）A函数在上为增函数B是函数的极小值点C函数必有2个零点D【答案】BD【分析】对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D【详解】函数，则，当时，故在上为增函数，A错误；当时，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；若，则有两个零点，若，则有一个零点，若，则没有零点，故C错误；在上为增函数，则，即，化
3、简得，D正确；故选：BD【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题3设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）ABCD【答案】BCD【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可【详解】解：令函数，因为，为奇函数，当时，在上单调递减，在上单调递减存在，得，即，；，为函数的一个零点；当时，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个零点，只需使，解得，的取值范围为， 故选：【点睛】本题主要考查函
4、数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，属于中档题4已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）ABCD【答案】BD【分析】先设，对函数求导，根据题中条件，分别判断设和的单调性，进而可得出结果.【详解】设，则，.因为对恒成立，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即，即.故选：BD.【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.5已知函数的定义域为，导函数为，且，则（ ）AB在处取得极大值CD在单调递增【答案】ACD【分析】根据题意可设，根据求，再求判断单调性求极值即可.【详
5、解】函数的定义域为，导函数为，即满足可设（为常数），解得，满足C正确，且仅有B错误，A、D正确故选：ACD【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.6若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，（为自然对数的底数），则（ ）A在内单调递增；B和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；C和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；D和之间存在唯一的“隔离直线”.【答案】ABD【分析】令，利用导数可确定单调性，得到正确；设，的隔离直线为，根据隔离直线定义可得不等式组对任意恒成立；分别在和两种情
6、况下讨论满足的条件，进而求得的范围，得到正确，错误；根据隔离直线过和的公共点，可假设隔离直线为；分别讨论、和时，是否满足恒成立，从而确定，再令，利用导数可证得恒成立，由此可确定隔离直线，则正确.【详解】对于，当时，单调递增，在内单调递增，正确；对于，设，的隔离直线为，则对任意恒成立，即对任意恒成立.由对任意恒成立得：.若，则有符合题意；若则有对任意恒成立，的对称轴为，；又的对称轴为，；即，；同理可得：，；综上所述：，正确，错误；对于，函数和的图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，则恒成立，若，则不恒成立.若，令，对称轴为在上单调
7、递增，又，故时，不恒成立.若，对称轴为，若恒成立，则，解得：.此时直线方程为：，下面证明，令，则，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，也是最小值，即，即，函数和存在唯一的隔离直线，正确.故选：.【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.7已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则ABCD【答案】CD【分析】根据题意，令，对其求导分析可得，即函数为减函数，结合选项分析可得答案【详解】解：根据题意，令，则其导数，又由，且恒有，
8、则有，即函数为减函数，又由，则有，即，分析可得；又由，则有，即，分析可得故选：【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数，并借助导数分析其单调性，属于中档题二、单选题8已知数列满足，.若恒成立，则实数的最大值是（ ）(选项中为自然对数的底数，大约为)ABCD【答案】D【分析】先由已知判断出，再根据得到，构造函数，利用单调性求出最小值大于0，从而得到答案.【详解】由得，设，在单调递减，在单调递增，故，则，所以， ，由得易得，记，所以，记，当即得时单调递增，当即得时单调递减，所以，得，故选：D.【点睛】本题考查了数列和导数的综合应用，考查学生的推理能力，计算能力，构造函数解题是关键
9、.9已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据条件变形可知在区间上单调递减，转化恒成立，即可求解.【详解】不妨设可得令则在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，当时，当时，而，所以在区间上单调递减，则，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：本题中恒成立，可转化为函数递减是解题的关键，突破此点后，利用导数在区间上恒成立，分离参数就可求解.10已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.【详解】根据可知，令由知为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，在时有最大值为，故.故选
10、：D【点睛】关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题.11已知是定义在上的奇函数，且时，又，则的解集为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据题意，构造新函数，通过导数研究函数单调性得出在上单调递增，再根据函数的奇偶性的定义得出是定义在上的奇函数，最后由，得出，所以，从而可求出的解集，即的解集.【详解】解：由题可知，当时，令，则，所以在上单调递增，因为是定义在上的奇函数，则，所以，得也是定义在上的奇函数，所以在和上单调递增，又，则，所以，所以可知时，解得：或，则，即，即，所以的解集为：，即的解集为.故选：D.【点睛】关键点点睛
11、：本题考查函数的导数的应用，考查利用函数的单调性解不等式和函数的奇偶性的应用，通过构造新函数，是解题的关键.12已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以,故应选D.考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的
12、方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.13已知奇函数的导函数为，当时，若，则的大小关系正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】令，求导可得单调递增，再结合奇函数的性质即可得解.【详解】令，则，所以单调递增，因为，所以即，又为奇函数，所以，所以.故选：C.【点睛】解决本题的关键是构造合理的新函数，利用导数确定函数的单调性即可得解.14设定义在上的函数的导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.【详解】设，所以，因为，所以，所以在上单调递减，且，又因为等价于，所以解集为，
13、故选：C.【点睛】本题考查根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数，难度较难.常见的构造方法：（1）若出现形式，可考虑构造；（2）若出现，可考虑构造；（3）若出现，可考虑构造；（4）若出现，可考虑构造.15若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（ ）ABCD【答案】D【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解再利用导数进一步求得的取值范围【详解】在点的切线斜率为，在点的切线斜率为，如果两个曲线存在公共切线，那么：又由斜率公式得到， 由此得到，则有解，由，的图象有公共点即可当直线与曲线相切时，设切点为，则，且，可得即有切点，故的取值范围是：故选:.【点睛】本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题16丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】求函数导数，结合导数不等式进行
