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1、问题1：博弈方2就如何分10000元钱进行讨价还价。假设确定了以下原则：双方提出自己要求的数额和，。如果设博弈方1和，则两博弈方的要求都得到满足，即分得和；但如果，则该笔钱就被没收。问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？解：，那么，那么，它们是同一条直线，上的任意点，都是本博弈的纯策略的Nash均衡。假如我是其中一个博弈方，我将选择元，因为是比较公平和容易接受的。它又是一个聚点均衡。问题2：设古诺模型中有家厂商。为厂商的产量，为市场总产量。为市场出清价格，且已知（当时，否则）。假设厂商生产产量的总成本为，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为
2、常数。假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？解：，令，解得：，当趋向于无穷大时，这是一个完全竞争市场，上述博弈分析方法其实已经失效。问题3：两寡头古诺模型，但两个厂商的边际成本不同，分别为和。如果，问纳什均衡产量各为多少？如果，但，则纳什均衡产量又为多少？解：双方的反应函数联立求解，解得：当，就是这个博弈的Nash均衡。如果，但，当然可以推得。那么厂商1就变成垄断商它的最佳产量当然是，它的利润是：。问题4：如果双寡头垄断的市场需求函数是，两个厂商都无固定成本边际成本为相同的常数。如果两个厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量。证明：这是
3、一个囚徒困境型的博弈。解：古诺产量，垄断产量的一半，那么分别有四种情况：，厂商二厂商一古诺产量垄断产量的一半古诺产量，垄断产量的一半，双方都有偷步的行为，直至达到古诺产量，达到均衡。问题5：两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为，设厂商1和厂商2都没有固定成本。若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？解：，令，代入，所以：。问题6：两个企业1、2各有一个工作空缺，企业的工资为，并且。设有两个工人同时决定申请这两个企业的工作，规定每个工人只能申请一份工作，如果一个企业的工作只有一个工人申
4、请，该工人肯定能得到这份工作；但如果一个企业的工作同时有两个工人申请，则企业无偏向地随机选择一个工人，另一个工人则会因为错过向另一个企业申请的时机而失业（这时收益为0）。该博弈的纳什均衡是什么？该博弈的结果有多少种可能性，各自的概率是多少？解：工人2工人1企业1企业2企业1，企业2，有两个纯策略均衡，还有混合策略均衡。，问题7：五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益是鸭子总数的函数，并取决于是否超过某个临界值；如果，收益；如果时，。再假设每只鸭子的成本为元。若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？问题7：是第个农户养鸭子的数量，当时，那么，那么（1）如果，则上
5、述临界条件成立，五户居民每户养8只鸭子，就是该博弈的Nash均衡。（2）如果，那么上述条件不成立，问题8：应用均衡概念和思想讨论下列得益矩阵表示的静态博弈。博弈方2博弈方1LRU6，62，7D7，20，0解：有两个纯策略Nash均衡。（U，R）和（D，L），但还有一个混合策略Nash均衡。，。但效率不高，双方的期望收益都是；不如（U，L）的效率高，（U，L）是Pearto均衡。应该设置一种机制，促使该Pearto均衡实现。问题9：三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？矩阵1：妻子丈夫活着死了活着1，1
6、-1，0死了0，-10，0矩阵2：妻子丈夫活着死了活着1，11，0死了0，10，0矩阵3：妻子丈夫活着死了活着-1，-11，0死了0，10，09解：矩阵1有两个Nash均衡（活着，活着），（死了，死了）和混合策略Nash均衡。两人的感情很好，同生死，共患难，极度恩爱，单独活着反而更加痛苦。矩阵2有三个Nash均衡，（活着，活着），（活着，死了），（死了，活着）。说明两人感情恶化，生活很不幸福。一方死了，另一方更好，但没有到相互不可容忍的地步。这说明夫妻感情很不好，处于相当危险的状态。矩阵3有两个Nash均衡，（活着，死了），（死了，活着）。达到你死我活、势不两立的程度。这说明这对夫妻感情状态极
7、度恶化，已经相互仇恨到了不共戴天的程度。问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中、数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，或应满足什么条件？乙甲乙借不借分不分打不打（1，0）（2，2）（a，b）（0，4），不借不分不打；，且，借不分打；，且，借不分打；，且，借分（2，2）问题2：三寡头市场需求函数，其中是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？代入，得。问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈
8、如下图所示。（1）若和分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？（2）是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？121LRMNST300，0200，200（a，b）50，300（1）博弈方1在第一阶段选择R，在第三阶段选择S，博弈方2在第二阶段选择M。（2）不可能。带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R的得益300；无论和是什么数值，该路径都不能构成Nash均衡，不能成为子博弈完美Nash均衡。（3）由于不是本博弈的子博弈完美Nash均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位的得益，唯一有可能实现300
9、单位及以上的得益的路径为，要使该路径成为子博弈完美Nash均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须。问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。（1）用扩展型表示这一博弈。（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？企业乙企业甲高档低档高档500，5001000，700低档700，1000600，600扩展型表示的博弈甲乙乙高低低低高高（500，500）（1000，700）（700，1000）（600，6
10、00）若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元；若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元，所以：甲的策略为：选择生产高档产品；乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，乙选择高档。本博弈的子博弈Nash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施）实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另
11、一个（给，实施）不可信。甲乙不给给实施不实施（-1000，1000）（0，0）（-，-）问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是，企业2的利润函数是，其中是企业1的价格，是企业2的价格。求：（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；（4）是否存在参数的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？解：（1），解得：（2），代入得到，得，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价，企业2的定价，利润也与（1）相同。与同时选择无异。（3）将代入，解得，代入得，（4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激励。当
12、，企业2希望先决策；当时，企业1希望先决策，只要都希望自己先决策。，因此当和时都能满足，这样才参数范围都希望自己先决策。问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为，其中，是厂商的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数，没有固定成本。如果厂商1先选择产量，厂商2和厂商3观察到后同时选择和，问它们各自的产量和利润是多少？解：，代入得令，代入得：问题8：考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产成本都是。企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到，该项技术需要投资。在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为，其中是市场价格，是两个企业的总产
13、量。问上述投资额处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？解：以未引进技术为基准，令，得如果引进技术，令，得只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即，即时企业1才会引进新技术。问题9：如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为90%，如果学生只复习一部分重点，则有50%的概率考好。全面复习花费的时间小时，重点复习只需要花费小时。学生的效用函数为：，其中是考试成绩，有高低两种分数和，为努力学习的时间。问老师如何才能促使学生全面复习？解：学生全面复习的期望得益学生重点复习的期望得益根据激励相容的条件，所以有所以：故：奖学金与学习成绩全面挂钩，才能激励学生的学习；单靠成绩没有这么大的力度。学
14、生成绩成绩全面重点低分0.1高分0.9Wh-200Wl-200Wh-40Wl-40高分0.5低分0.5问题10：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。如果律师的效用函数为，其中是报酬，是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。解：第三阶段，律师努力的期望得益：不努力的期望得益：满足激励相容约束第二阶段：接受委托并努力工作第一阶段：委托，接受委托，代理人努力工作，那么委托是必然的选择。打官司的人提出委托，律师接受委托并努力工作。12100委托不委托接受拒绝努力不努力赢0.5赢0.15输0.85输0.5（0，5）（0，5）（225，20）（0，-5）（2
