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1、最短途径问题（珍藏版)【问题概述】最短途径问题是图论研究中的一种典型算法问题， 旨在寻找图(由结点和途径构成的)中两结点之间的最短途径算法具体的形式涉及:拟定起点的最短途径问题- 即已知起始结点，求最短途径的问题拟定终点的最短途径问题 - 与拟定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短途径的问题.拟定起点终点的最短途径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短途径.全局最短途径问题 - 求图中所有的最短途径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【波及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正
2、方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年浮现“三折线”转“直”等变式问题考察【十二个基本问题】【问题 】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小.连 AB，与 l 交点即为P.两点之间线段最短PAPB 最小值为 A【问题 】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点 ，使PA+PB 值最小.作 B 有关 l 的对称点 B 连 A B，与 l 交点即为 P两点之间线段最短+PB 最小值为 B.【问题】作法图形原理在直线1 、2上分别求点、N，使MN 的周长最小分别作点 P 有关两直线的对称点 P和,连 P与两直线交点即为 M，N.，两点之间线
3、段最短PM+N 的最小值为线段P的长【问题 4】作法图形原理在直线l 、 上分别求点M 、N，使四边形 QMN的周长最小分别作点 Q 、P有关直线、2 的对称点 Q和 连 QP,与两直线交点即为 ,N两点之间线段最短. 四边形PN 周长的最小值为线段 PP的长.【问题 5】“造桥选址”作法图形原理直线 m n，在 m、 n , 上分别求点 M、N,使 MN m ,且 MN+N 的值最小.将点 A 向下平移M 的长度单位得A,连A，交 n 于点N，过 N 作 Mm 于 .两点之间线段最短.AM+M+BN 的最小值为BMN.【问题 】作法图形原理在直线l 上求两点 M、N（M在左）,使 M= ,并
4、使M+MN+B的值最小将点 A向右平移 a个长度单位得 A，作 A有关l的对称点 A,连AB,交直线 l 于点 ,将 点向左平移 a 个单位得 M.两点之间线段最短.AMNBN 的最小值为AB+MN.【问题】作法图形原理在 l1 上求点 A,在 2 上求点B，使P+AB 值最小.作点 有关l1 的对称点P,作 Pl2 于 B，交 于 A点到直线，垂线段最短.PA+A 的最小值为线段 PB的长【问题】作法图形原理 为1 上一定点，B为l 上一定点，在l2 上求点 M,在 上 求点， 使AMN+B 的值最小.作点 A 有关l的对称点A，作点 B 有关 1 的对称点B，连 B交2 于M,交l 于 N
5、.两点之间线段最短MN+NB 的最小值为线段 B的长.【问题】作法图形原理在直线l 上求一点 ，使连A,作AB 的中垂线与直线 l 的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.A - P=0.A -B的值最小.【问题 10】作法图形原理在直线 上求一点 P，使P - PB 的值最大作直线AB，与直线 l 的交点即为P.三角形任意两边之差不不小于第三边 P - BAB.PA- PB的最大值=AB.【问题 11】作法图形原理在直线 l 上求一点，使PA - PB 的值最大.作B 有关 l的对称点B作直线 B，与 l 交点即为 三角形任意两边之差不不小于第三边 PA- P AB - PB 最大
6、值AB【问题 12】“费马点”作法图形原理A中每一内角都不不小于120,在ABC 内求一点,使 P+PB+PC 值最小.所求点为“费马点”，即满足ABBPAPC=120.以 B、C为边向外作等边AD、ACE,连D、E 相交于P，点 P 即为所求两点之间线段最短PAB+ 最小值=CD【精品练习】1. 如图所示,正方形 BC 的面积为 1,ABE 是等边三角形,点 在正方形 ACD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 DE 的和最小，则这个最小值为()A. 2B. 2D.3D.BC2. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，C,若将ACD 绕点 A旋转，当AC、AD分别与 B、D交于点 E、
7、，则CEF的周长的最小值为（）A2B22 +D43. 四边形 ABCD 中,BD0,C70，在 BC、CD上分别找一点 M、N，使AMN的周长最小时,ANN 的度数为()A.12B13C.110D.1404. 如图，在锐角C 中,AB=4,C=5，BAC 的平分线交 C 于点 D，M、N分别是AD 和 AB上的动点，则 BM+M 的最小值是 .5. 如图,RABC 中，C90，B30,B=6，点E在 A边上,点 在 B 边上（不与点B、C 重叠)，且DAE，则线段 AE 的取值范畴是.6. 如图，OB=30，点M、N分别在边、OB 上,且 O1,ON3,点P、 分别在边 OB、OA 上, 则
8、P+PQQN 的最小值是 .(注“勾股定理”:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， 即 RA 中，=90,则有AC + BC 2 = )7. 如图,三角形AC中,OAB=AOB5,点B 在x轴的正半轴,坐标为( 6，0).OC平分AOB,点 在 OC 的延长线上，点 为边 OA 上的点，则 AMN 的最小值是 .8. 已知 A（2，4)、B（，2).C 在 轴上，D 在 轴上，则四边形ABD的周长最小值为， 此时 C、D 两点的坐标分别为 .已知 A（1，1）、（,)（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB的最小值和此时 P 点的坐标；（2） 为 x 轴上一动点,求 PA - B 的值最大时P 点的坐标;（3)C为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且CD1，求当 C+CD+B 的最小值和此时 点的坐标；10. 点 C 为AOB内一点.（1） 在 OA 求作点 D，O上求作点 E,使CDE 的周长最小,请画出图形;（2） 在(1)的条件下,若AOB=0,C10,求DE 周长的最小值和此时E 的度数.11. (）如图,ABD 和CE均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF,求证:A+BF+CCD;
