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1、习题一1. 下列函数是否相等,为什么?解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.2. 求下列函数的定义域解: (1)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是.(2)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是-3,0)(0,1).(3)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是.(4)要使函数有意义,必须 即 即或,(k为
2、整数).也即 (k为整数).所以函数的定义域是, k为整数.3. 求函数的定义域与值域.解: 由已知显然有函数的定义域为(-,+),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍-1,1上所有的值,所以函数的值域为-1,1.4. 没,求解: ,5.设,求.解: 6. 设,求和.解: 7. 证明:和互为反函数.证:由解得,故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.8. 求下列函数的反函数及其定义域:解: (1)由解得,所以函数的反函数为.(2)由得,所以,函数的反函数为.(3)由解得所以,函数的反函数为.(4)由得,又,故.又由得,即,故可得反函数的定义域为0,2,所以,函数的反函数
3、为.9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:解: (1)函数的定义域为(-,+), 当时,有,当时,有,故有.即函数有上界.又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.又由知,当且时,而当且时,.故函数在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+),且,使.取,则有,所以函数在定义域内是无界的.又当时,有故.即当时,恒有,所以函数在内单调递增.10. 判断下列函数的奇偶性:解: (1)是偶函数.(2)函数是奇函数.11. 设定义在(-,+)上,证明:(1) 为偶函数; (2)为奇函数.证: (1)设,则,有故为偶函数.(2)设则,
4、有故为奇函数.12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.设总费用为,则.13. 邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20 g按20 g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解: 当x能被20整除,即时,邮资;当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.综上所述有其中,分别表示不超过,的最大整数.14. 已知水渠
5、的横断面为等腰梯形,斜角=40,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解: 从而 .由得定义域为.15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?解: (1)是由复合而成.(2)是由复合而成.(3)是由复合而成.(4)是由复合而成.16. 证明:证: (1)由得解方程得,因为,所以,所以的反函数是(2)由得,得;又由得,所以函数的反函数为17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:解: 当时,.,当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1
6、,-1.18. 对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:解: ,要使,只须.取,则当时,必有.当时,或大于1000的整数.,要使只要即即可.取,则当时,有.当时, 或大于108的整数.19. 根据数列极限的定义证明:证: ,要使,只要.取,则当nN时,恒有.故.(2) ,要使只要,取,则当nN时,恒有.故.(3) ,要使,只要,取,则当nN时,恒有,从而.(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.20. 若,证明,并举反例说明反之不一定成立.证: ,由极限的定义知,当时,恒有.而 ,当时,恒有,由极限的定义知但这个结论的逆不成立.如但不存在.21. 利用
7、单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:证: (1),不妨设,则.故对所有正整数n有,即数列有上界.又显然有,又由得,从而即,即数列是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列有极限.设,则,于是,(不合题意,舍去),.(2) 因为,且,所以, 即数列有界又 由知与同号，从而可推得与同号，而 故, 即所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.设, 则，解得 (不合题意，舍去).所以 22. 用函数极限定义证明：证：(1),要使,只须,取，则当时，必有,故.(2),要使,只须,取，则当时，必有,故.(3) ,要使,只要取，则当时，必有,故.(4) ,要使,只须，取，则当时，必有故.(5
8、) ,要使,只要取，则当时，必有,故.23. 求下列极限：(7)若，求a和b.解：.由无穷大与无穷小的关系知， .24. 解:因为由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是 且 解得 .25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:其中为给定的正常数;解: 而,当时, .(2)记则有 即 而 故 即 .(3)即 而 故 .(4)而 故 .26. 通过恒等变形求下列极限：解： 而 而(14)令则当时，.所以(利用(13)题的结果).(16)令， 则而 所以27. 利用重要极限，求下列极限：解：(6)令，则当时，.28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：解：(1)令，则于是：即
9、即 即.(2)令，则于是即 即 故即 .(3)令，则于是 即 从而 故即 .(4)令，则于是：即 即.29. 当时，与相比，哪个是高阶无穷小量？解：当时，是比高阶的无穷小量.30. 当时，无穷小量与是否同阶？是否等价？解：当时，是与同阶的无穷小.当时，是与等价的无穷小.31. 利用或等价无穷小量求下列极限：解：(1)因为当时，所以(4)因为当时，,所以(5)因为当时，所以.(7)因为当时，,所以(8)因为当时，所以.(9)因为当时，,所以(10)因为当时，所以(11)因为当时，所以(12)因为当时，所以(13)因为而当时，故 又当x0进，所以(14)因为当时，故 所以32. 求下列函数在指定点
10、处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？ 在处; 在处.解： 因为 所以不存在.(2)因为不存在，所以不存在.33. 研究下列函数的连续性，并画出图形：解：(1)由初等函数的连续性知，在（0，1），（1，2）内连续，又 而，在处连续，又，由，知在处右连续，综上所述，函数在0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2 (2) 由初等函数的连续性知在内连续，又由知不存在，于是在处不连续.又由及知，从而在x=1处连续，综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下：图1-3 (3)当x0时，由初等函数的连续性知在内连续，又由 知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下
11、：图1-4(4)当|x|=1时，当|x|1时，即 由初等函数的连续性知在(,1),(1,1),(1,+)内均连续，又由知不存在，从而在处不连续.又由 知不存在，从而在处不连续.综上所述，在(,1),(1,1),(1,+)内连续，在处间断.图形如下：图1-534. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：解：是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；x=2是无穷间断点.当时，.为可去间断点，分别补充定义f(0)=1,，可使函数在x=0,及处连续.();为无穷间断点(3)当时，呈振荡无极限，x=0是
12、函数的振荡间断点.(第二类间断点).(4)x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)35. 当x=0时，下列函数无定义，试定义的值，使其在x=0处连续:解：补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.36. 怎样选取a, b的值，使f(x)在(,+)上连续？解：(1)在上显然连续，而 且,当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续.(2)在内显然连续.而当，即时，在处连续，因而在上连续.37. 试证：方程至少有一个小于1的正根.证：令，则在0,1上连续，且,由零点定理，使即即方程有一个小于1的正根.38. 试证：方程至少有一个不超过的正根，其中.证：令，则在上连续，且 ,若，则就是方程的根.若，则由零点定理得.,使即即
