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1、函数、数列以及极限的综合题例 已知函数的图象是自原点出发的一条折线当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义 求：（1）求和的表达式；（2）求的表达式，并写出其定义域； （3）证明：的图像与的图象没有横坐标大于1的交点分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力（1）由斜率分式求出，同样由斜率公式求出关于的递推式，然后求出，（2）由点斜式求出段的的表达式，用极限的方法求出定义域（3）与没有交点，只要时，或时恒成立，当，由于，只要证解：（1）依题意，又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由得又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由，即
2、得记由函数的图象中第段线段的斜率为，故得又由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为因，得 即（2）当时，从（1）可知，即当时，当时，即当时，由（1）可知为求函数的定义域，须对进行讨论当时，时，也趋向于无穷大综上，当时，的定义域为当时，的定义域为（3）证法1 首先证明当时，恒有成立对任意的，存在使，此时有又即有成立其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立故函数的图象与的图象没有横会标大于1的交点证法2 首先证明当时，恒有成立用数学归纳法证明：（）由（1）知当时，在上，所以成立（）假设时在上恒有成立可得在上，所以 也成立由（）与（）知，对所有自然数在上都即时，恒有其次，当，仿上述证明，可知当时，恒
3、有成立说明： 本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的（2）用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02，三人平均不足1分，创了近年高考得分低的记录命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置本题得分低一方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法以后坚持考不等式证明题的方向不会改变
4、，试题难度会适度降低判断数列极限命题的真假例 判断下列命题的真假：（1）数列的极限是0和1（2）数列的极限是0（3）数列的极限不存在（4）数列的极限是0分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题（2）随着n无限增大，数列的项无限趋近于0，因此它的极限是0，是真命题（3）随着n无限增大，数列的项无限趋近于0，因此数列无限趋近于0，是假命题（4）有穷数列无极限，是假命题说明：（3）中容易认为极限不存在 （4）容易错误认为是真命题，尽管数列随着n的增大而逐渐趋近于0，但由于数列只有10
5、001项，是有穷数列，不存在极限根据数列的极限确定参数的范围例 若，则a的取值范围是（ ）A B或 C D或分析：由（a为常数），知，所以由已知可得，解这个不等式就可求得a的取值范围解：由，得，所以，两边平方，得：，所以或答案 B说明：解题过程容易误认为只有，得，错选A解决含有涉及到求字母取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题分析数列求极限 例 已知数列1.9，1.99，1.999， （1）写出它的通项； （2）计算； （3）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.01？ （4）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.001？ （5）指出这个数列的极限 分析：观察数
6、列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再求极限解：（1）可将数列改写为（2-0.1），（2-0.01），（2-0.001），（），于是此数列的通项（2）（3）令即，解得故这个数列的第2项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.01（4）令即，解得故这个数列的第3项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.001（5）说明：可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义，从而帮助求解极限求数列奇数项和的极限例 数列的前n项和记为，已知，求的值分析：为求当的极限，应先求出的表达式从已知条件中给出与的关系式，可以利用，设法求出的表达式解：由及，可得又时，则两式相减，得于是，数列是以为首项，公比为的无穷等比数列进而可得，数列是以为首项，公比为的无穷等比数列，于是可求出极限说明：这同1999年全国高考文史类试题对于这类求极限的题目，必须先用数列的性质求出的通项公式，或确定数列的特征再求极限由于所求数列是一个公式的无穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式等比数列和的极限已知数列满足条件：，（），且是公比为q （）的等比数列设（），求与，其中解：因为，所以，所以是首项为1+r ，公比为q的等比数列，从而当时，；当时，；当时，所以反思升华：已知数列满足条件：，（），对任意，有设，求用心 爱心 专心
