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1、应用型本科线性代数及其应用习题参考解答习题一1、利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解（1）：解（2）：解（3）：解（4）：2、求下列各排列的逆序数，并确定排列的奇偶性：（1）3617254；（2）891476235；（3）（2n+1）(2n-1) 531解（1）：逆序数为10，偶排列。解（2）：逆序数为23，奇排列。解（3）：逆序数为。当或时为偶排列，当或时为奇排列3、写出四阶行列式中所有包含并带正号的项。解：项的一般形式为，其中，是1，2，4的全排列。所有可能的列标序列的逆序数为， ，故包含且带正号的项有，。4、若阶行列式的元素满足（），则称这样的行列式为反
2、对称行列式，试证：当为奇数时，。解：一方面，另一方面，于是，。5、计算下列行列式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1）：解（2）：解（3）：解（4）：解（5）：解（6）：6、计算阶行列式（1）；（2）解（1）：第n-1行减去第n行，第n-2行减去第n-1行，.，第2行减去第3行，第1行减去第2行，有解（2）：提取各阶公因子，得第2，3，n-1,n行分别加上第1行，得7、求解下列方程（1），（2）解（1）：原方程为其根为。解（2）：故原方程为，从而。8、设的元的代数余子式记作，求。解：9、用克拉默法则解下列方程组：（1） （2）（3） （4）解（1）：解（2）：解（3）：解（4）
3、：10、确定参数的值，使下列方程组有惟一解，并求出该解：（1） （2）解（1）：，故当时，方程组有惟一解。，解（2）：，故当时，方程组有惟一解。，11、确定参数的值，使以下齐次线性方程组有非零解解：系数行列式故当时，齐次线性方程组有非零解。12、求三次多项式，使满足，。解：设，解得，故13、在空间坐标系中，3元方程表示一空间平面。设有3元线性方程组其几何意义如图所示判别向量，是否共面，并说明理由。解：由几何意义可知，三平面无共同的交点，即非齐次线性方程组无解。根据克莱默法则，该非齐次线性方程组的系数行列式从而，共面。14、证明平面上经过两不同点、的直线的方程可以表示成为证明：过两点、的直线方程
4、为，从而15、证明：顶点、的三角形的面积，证明：记、，16、分别求下列给定顶点的四边形的面积，并判别其中哪几个是平行四边形。（1）（0，0），（5，2），（6，4），（11，6）（2）（0，0），（-1，3），（4，-5），（3，1）（3）（-1，1），（0，5），（1，-4），（2，1）（4）（0，-2），（6，-1），（-3，1），（3，2）解（1）：记A(0,0)，B(5,2)，C(6,4)，D(11,6)，因， ，故该四边形构成平行四边形，且面积为解（2）：记A(0,0)，B(-1,3)，C(4,-5)，D(3,1)，该四边形不构成平行四边形。且面积为解（3）：记A(-1,1)，B(0
5、,5)，C(1,-4)，D(2,1)，该四边形不构成平行四边形。且面积为解（4）：记A(0,-2)，B(6,-1)，C(-3,1)，D(3,2)，因， ，故该四边形构成平行四边形，且面积为17、分别求下列给定点的平行六面体的体积。（1）一个顶点在原点，相邻顶点在（1，0，-2），（1，2，4），（7，1，0）；（2）一个顶点在原点，相邻顶点在（1，4，0），（-2，-5，2），（-1，2，-1）；（3）一个顶点在（1，1，1），相邻顶点在（0，-1，-2），（1，-4，3），（-2，1，4）；（4）一个顶点在（2，1，3），相邻顶点在（1，-1，4），（2，-1，5），（-3，2，1）。解（1
6、）：平行六面体的三个棱向量为，所构成的平行六面体的体积为解（2）：平行六面体的三个棱向量为，所构成的平行六面体的体积为解（3）：平行六面体的三个棱向量为，所构成的平行六面体的体积为解（4）：平行六面体的三个棱向量为，所构成的平行六面体的体积为18、求以(-2,-3)，(4,-3)，(6,2)，(1,6)，(-4,5)，(-6,2)为顶点的六边形的面积。解：从（-2，-3）出发，将六边形划分为4个三角形，其面积为19、分别求单位圆的内接正6边形、正12边形、正24边形的面积，由此你能得出何种猜想。解：猜想：若用表示圆内接正边形面积，则。事实上，有，20、求如下图所示的曲边梯形面积的近似值。解：（
7、1）建立数学模型在区间0.5,4上插入个分点，小区间所对应的曲边梯形面积，用以下梯形面积来近似整个曲边梯形面积，可以用复化梯形面积来近似，而（2）给出对区间0.5,4的等分数，进行具体计算n12345An7.87505.49314.84854.57934.4412n678910An4.36124.31074.27694.25324.2359利用定积分，该曲边梯形面积的准确值为从近似计算的数值可以观察到，单调下降趋近于。习题二1、设，（1）计算；（2）若已知，求出，。解：，。2、设，求。解：3、已知求矩阵。解：4、设，且，求矩阵。解：5、计算下列矩阵（1）； （2）； （3）（4）； （5）解（
8、1）解（2）解（3）解（4）解（5）6、计算，其中，解：7、设，求（1）；（2）；（3）。解（1）解（2）解（3）8、计算下列矩阵（其中为正整数）（1）；（2）；（3）解（1），解（2）解（3）9、设矩阵，求和。解：，可分解成为 ，而（1）当时，有（2）当时，有（3）当时，有10、设、为阶方阵，如果，证明的充要条件是。证明：若，则，从而。若，则。11、设矩阵，求，和。解：，没有意义的。12、设、为阶方阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。证明：记，则，故为对称阵。13、设为三阶方阵，且，求。解：14、设，（1）计算行列式的值；（2）求行列式。解（1），解（2），15、求下列矩阵的逆矩阵（1）；（
9、2）（3）；（4）解（1）：解（2）：解（3）：解（4）：16、解下列矩阵方程（1）；（2）（3）解（1）：解（2）：解（3）：17、求方程组的解解：，18、设，求矩阵。解：，故可逆。故19、已知矩阵满足，证明，均可逆；并求，。证明：，故可逆，且。，故可逆，且。20、设，其中为方阵，为大于1的正整数，证明：证明：故。21、若为可逆矩阵，并且，试证：。证明：，从而 。22、若三阶矩阵的伴随矩阵为，且，求。解：23、已知设，求。解：24、设，其中，求。解：25、已知，求。解：26、已知，求。解：27、设是一个阶的矩阵，按下列形式划分成4个小矩阵，其中、分别是阶和阶可逆矩阵，求。解：28、设明文为D
10、SWSIHWREQ，密钥矩阵为，试用希尔密码体系给明文加密。解：字符矩阵所对应的数字矩阵为数字矩阵所对应的字符矩阵为密文为QEVEYXSBNY。验证：，数字矩阵所对应的字符矩阵为即明文为DSWSIHWREQ。29、设密文为AHRSUYREQ，密钥矩阵为，试将密文还原为明文。解：密文所对应的字符矩阵为，其中，最后的是补充的，还原成为明文时，它所对应的字符应被去掉。密文所对应的数字矩阵为。，明文对应的数字矩阵为，对应的字符矩阵为故明文为SSYZVIMFQ。30、某些动力系统可借助矩阵的幂来研究，如下所示。给定下列矩阵和，观察当增加时，和有何变化，识别和有什么特点？研究类似矩阵的幂，提出关于这类矩阵
11、的猜想。，解：（一）、特点1、矩阵的每个元素均为非负的。2、每列元素之和为1。（二）、幂阵特点当时，和中的每个元素为正值，且每列元素之和仍为1。（三）猜想存在着唯一三维列向量（中的每个元素均为正且和为1），使得。例如：31、先求出产生所述复合二维变换的矩阵，然后在线性代数智能在线实验系统的实验四的实验区中进行实证。（1）先关于轴对称，然后绕原点顺时针旋转30 0；（2）先绕原点顺时针旋转30 0，再关于轴对称；（3）先把和坐标同时乘1.2，然后关于对称；（4）先关于对称，然后把和坐标同时乘1.2。根据你算出的结果以及矩阵的相关结论，解释你观察到的现象，并用矩阵语言表示。解（1）关于轴对称的变换
12、为绕原点顺时针旋转30 0的变换为其复合变换为解（2）先绕原点顺时针旋转30 0的变换为再关于轴对称的变换为其复合变换为解（3）将和坐标同时乘1.2的变换为关于对称的变换为其复合变换为解（4）关于对称的变换为将和坐标同时乘1.2的变换为其复合变换为32、数据矩阵的每一列表示平面上的一个点的坐标，因此决定一个三角形，求这个三角形绕点（17，10）顺时针旋转900的矩阵（用齐次坐标，所以所得矩阵应为），并在实验七中验证。解：三角形的三个顶点的齐次坐标所排成的矩阵为欲绕顶点（17，10，1）进行旋转，需先将坐标原点平移到（17，10，1），即作平移变换再作旋转变换最后再将坐标原点还原成原来的原点，即
13、故复合变换为故所求的矩阵为。原三角形的顶点矩阵，经此变换之后，其顶点矩阵为我们利用图形计算器，画出原三角形以及变换后的三角形。-1Xmin：31Xmax：-4Ymin：22Ymax：17，20，30，17，10，17，15，10，1，1，1，1 M1：/顶点矩阵FOR I=1 TO 3 STEP 1； LINE M1(1,I)；M1(2,I)；M1(1,I+1)；M1(2,I+1)：/画原三角形END：0，1，7，-1，0，27，0，0，1 M2：/变换矩阵M2*M1M3：/变换后的顶点矩阵FOR I=1 TO 3 STEP 1； LINE M3(1,I)；M3(2,I)；M3(1,I+1)；M3(2,I+1)：/画新三角形END：FREEZE：33、设四边形的四个顶点坐标为，如图a所示。若令，则可用矩阵表示四边形。由向量加法的平行四边形法则可知，若向量，则四边形为平行四边形，如图b所示。请构造一个顶点均不在原点、边均不平行于坐标轴的平行四边形（非矩形），并求其面积。你可以在实验区的实验区中对你的结果进行验证。参考解决方案：第一步 作一个顶点在原点的矩形
