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1、随机过程测试题二答案1以表示泊松过程中事件首次发生的时刻，则对于，求条件概率解： .（细节请查书） （5分）2设N(t), t0是强度为l的泊松过程，N(t)表示到时刻t为止事件A发生的次数，则对任意，求解：； （5分） （5分）3设某公交车站从早晨5时至晚上21时有车发出从5时至8时乘客的平均到达率呈现性增加，5时乘客的平均到达率为200人/小时，8时乘客的平均到达率为1400人/小时；8时至18时乘客的平均到达率不变；18时至21时乘客的平均到达率线性减少，到21时为200人/小时假定在不相重叠的时间间隔内到达车站的乘客数相互独立求（1）12时至14时恰有2000名乘客到车站的概率；（2）
2、这两小时内到车站的乘客平均数解：以N(t)表示0时到t时到达的乘客数，则, （1）； （5分）（2） （5分）4假定某天文台观测到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星. 试求（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率.（2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数.解：（1）设早晨8时为0时刻，以N(t)表示0时到t时观测到的流星数，则N(t)是强度为3（颗/小时）的泊松过程 ； （5分）（2）记下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间为，则其密度函数为相应的分布函数为 （5分）5保险公司接到的索赔次数是一个泊松过程N(t)
3、，t0, 每次的赔付金额Yn是一族独立随机变量序列，且有相同分布F，索赔数额与它发生的时刻无关则在(0,t时间内保险公司赔付的总金额可表示为（5分）；若保险公司以平均每月两次的速率接到索赔要求,每次赔付为均值是2000元的正态分布,则它的年平均赔付金额为48000元（5分）.解：2000元212=48000元 6 设到某电影院的观众服从强度为l的泊松流，如果电影在时刻t开演，求在(0,t时间内到达电影院的观众等待开演的时间总和的均值.解：假设以强度为l的泊松过程N(t)，t0来到某电影院，火车在时刻t启程计算在(0,t时间内到达的乘客的等待时间的总和的期望值.解1：以Tn记第n位观众的来到时刻
4、，则所求为 （5分） （5分） 7某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客到达商场的人数分别独立地服从每分钟1人与每分钟2人的泊松过程。(1) 试计算时间内到达商场顾客的总人数服从的分布；(2) 在已知时刻已有50人到达的前提下，问其中有20位男性顾客的概率有多大，平均有多少位男性顾客？解：(1)分别以,记时间内到达商场的男女顾客人数，则与分别是速率(单位：均为人/分钟)的泊松过程从而在时间内到达商场的顾客总人数为,它服从参数为的泊松分布.(2) 首先在已知时刻已有人到达的前提下，其中有位男性顾客的概率为，.故在已知时刻已有50人到达的前提下，其中有20位男性顾
5、客的概率为.平均有位男性顾客.8将两个红球四个白球分别放入甲、乙两个盒子里. 每次从两个盒子中各取一球交换，以Xn 表示第n次交换后甲盒中的红球数，则Xn , n =0,1,2，是状态空间为I=0,1,2的时齐马尔可夫链. （1） 写出其一步转移概率矩阵.（2）求其平稳分布.解：（1）一步转移概率矩阵为； （5分） （2）由平稳方程组及规范性条件，得. （5分）9. 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关. 又设今天下雨时明天也下雨的概率为0.7，今天无雨时明天有雨的概率为0.4. 记有雨天气为状态0，无雨天气为状态1, 求今天有雨的条件下，这之后第四天仍有雨的概率.解：以Xn记
6、第n天的天气状态，则Xn，n=0,1,2, 为时齐马尔可夫链. 其状态空间为I=0,1. 一步转移概率矩阵为 （5分） 四步转移概率矩阵为 所求概率为. （5分）10在赌徒输光问题中，假定甲有赌资5元，乙有赌资10元，赌一局输者给赢者1元，无和局. 设甲输赢的概率均为1/2，试求甲输光的概率.解：设表示甲从状态 i 出发转移到状态0的概率，则所求为 .易见 且 .由得11（选做）我国某种商品在国外销售情况共有连续24个季度的数据（其中1表示畅销，2表示滞销）1,1,2,1,2,2,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,1,1如果该商品销售情况近似满足时齐性与马尔可夫性.（1） 试确定销售状态的一步转移概率矩阵.（2） 如果现在是畅销，是预测这之后第四个季度的销售状况.（3） 如果影响销售的所有因素不变，试预测长期的销售状况.解：以表示第n季度该种商品在国外的销售情况，则是一状态空间为1, 2的时齐马链.(1) 由11：7次；12：7次，得由21：7次；22：2次，得一步转移概率矩阵为 (2) 即如果现在是畅销，这之后第四个季度该种商品将以概率0.611畅销.（3）由平稳方程 及规范性条件得 解得即长期下去，该种商品将在国外以概率0.609畅销.
