高考压轴题之数列

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1、数列及其通项例1设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，），则它的通项公式是= 分析 本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点：即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法(由特殊到一般).也可化简递推式,从而求得通项公式.解法一： 由条件,可得,(负值舍去)由此可猜想.解法二： 由,可得因为,所以故只有,即所以=链接 形如的递归式,其通项公式求法为：形如的递归式,其通项公式求法为：例2 . 已知an = ( nN* )，则在数列an 的前20项中，最大项和最小项分别是() A.a9,a8 . B.a10,a9 . C.a8,a9 . A.a9,a10 . 分析 因为an =1+ 所以a1,a2

2、,a9 组成递减数列，a1最大，a10最小;a10,a11 ,a20组成递减数列，a10,最大，a20,最小，计算a1 a10, a9 a20.所以在数列 an 前20项中，最大项为a10，最小项为a9，故选B.说明要确定数列 an 的最大项和最小项，一种思路是先判断数列的单调性，另一种思路是画图观察.等差数列与等比数列例1.设无穷等差数列an的前n项和为Sn.()若首项，公差，求满足的正整数k；()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数都有成立.【答案】解：（I）当时，由，即。 又。（II）设数列an的公差为d，则在中分别取=1，2,得。解得。若成立；若故所得数列不符合题意。若；若。综

3、上，共有3个满足条件的无穷等差数列：an : an=0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，。【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。【分析】（I）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到求得。（）设数列an的公差为d，在 Sn2=(Sn)2中分别取=1，2求得，代入到前n项的和中分别求得d，进而对和d进行验证，最后综合求得答案。例2 OBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标

4、为(xn,yn),（）求及;（）证明 ()若记证明是等比数列分析 本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力 利用图形及递推关系即可解决此类问题解 ()因为，所以，又由题意可知 =为常数列()将等式两边除以2，得 又 , （）= = 又 是公比为的等比数列 说明 本题符号较多，有点列Pn，同时还有三个数列an，yn ， bn，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四最终因心理素质的欠缺而无

5、法拿到全分例3设数列的前项和为，已知，且，其中A.B为常数求A与B的值；（2分）证明：数列为等差数列；（6分）证明：不等式对任何正整数都成立（6分）【答案】解：（1）由已知，得，由，知，即，解得。（2）由（1）得 得， 得 。，。 ， 。 ，。又 ，数列为等差数列。（3）由（2） 可知，要证，只要证。因为，故只要证，即只要证。因为 ，由于以上过程是可逆的，所以命题得证。【考点】数列的应用。【分析】（1）由题意知，从而解得A=20，B=8。（2）由（）得，所以在式中令，可得由此入手能够推出数列an为等差数列。（3）由（2）可知，然后用分析法可以使命题得证。例4.已知 是等差数列，是公比为的等比数

6、列，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）【答案】解：设的公差为，由，知，（）（1）证：，。（2）证：，且，解得，或，但，。是正整数，是整数，即是整数。设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。， 。若，则，那么。当时，只要考虑的情况，是正整数。是正整数。数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数

7、列，则有2。设，则2。令，则。，解得。即存在使得中有三项成等差数列。【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质【分析】（1）设的公差为，由，把代入，即可表示出，题设得证。（2）利用，可得，整理即可求得，从而可判定是整数，即是整数。设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。（3）设数列中有三项成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设，从而可得以2，令，求得。例5.（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值（2）求证：对于给定的正整

8、数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列【答案】解：（1）（i）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得。若删去，则，即化简得，得。综上，得或。（ii）当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)。综上所

9、述，。（2）假设对于某个正整数，存在一个公差为d的项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0。当与同时为0时，有与题设矛盾；故与同时不为0，所以由（*）得。，且x、y、z为整数，上式右边为有理数，从而为有理数。对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如项数列1，满足要求。【考点】等差数列的性质，等比关系的确定，等比数列的性质【分析】（1）根据题意，对=4，=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，从而推广到4的所有情况（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可。数列的求和本节主要内容有

10、Sn与an的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；符号的运用. 掌握数列前n项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等1.重要公式1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)2.数列an前n 项和Sn与通项an的关系式：an=3. 在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 5.错项相消法6.并项求和法例1. 已知数列an是首项为a且公比q不等于1

11、的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4 成等差数列（I）证明 12S3，S6，S12S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n2分析 (1)对于第(l)问，可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比，然后写出12S3，S6，S12S6，并证明它们构成等比数列对于第(2)问，由于 Tn=a1+2a4+3a7+na3n2所以利用等差数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问题解 （）证明 由成等差数列， 得，即 变形得 所以（舍去）由 得 所以12S3，S6，S12S6成等比数列 （）解：即 得： 所以 说明 本题是课本例题：“已

12、知Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列”的类题，是课本习题：“已知数列an是等比数列，Sn是其前 n项的和，a1，a7，a4 成等差数列，求证2 S3，S6，S12S6成等比数列”的改编 例2 设（1）令求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.分析 利用已知条件找与的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.解 （1）因 故bn是公比为的等比数列，且（2）由注意到可得记数列的前n项和为Tn，则说明 本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.数列的递推本节主要内容两个基本递推：an1

13、and，anqan；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推1基本概念：递归式：一个数列中的第项与它前面若干项，（）的关系式称为递归式递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列2常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等3思想策略：构造新数列的思想4常见类型： 类型：（一阶递归）其特例为：（1） （2） （3）解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列形如的递归式,其通项公式求法为：来源:Zxxk.Com形如的递归式,其通项公式求法为： 形如的递推式,两边同除以得,令则句可转化为来处理.例1 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是( )11yxO11yxO11yxO11yxO（A）（）（）（）分析 利用递推式意义及数形结合,分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断解 由，得，即，故选A 例2已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式