《2014届高考数学（理科）专题教学案：数列的综合应用（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学（理科）专题教学案：数列的综合应用（含答案）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、常考问题10数列的综合应用真题感悟1(2010江苏卷)函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.解析在点(ak，a)处的切线方程为：ya2ak(xak)，当y0时，解得x，所以ak1，故an是a116，q的等比数列，即an16n1，a1a3a5164121.答案212(2011湖北卷)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析法一设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9，且数列an为等差数列a1a2a3a43，a7a
2、8a94，即4a510d3，3a59d4，联立解得a5.法二设自上第一节竹子容量为a1，依次类推，数列an为等差数列又a1a2a3a44a16d3，a7a8a93a121d4.解得a1，d，a5a14d4.答案3(2013江苏卷)在正项等比数列an中，a5，a6a73.则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n的值为_解析由已知条件得qq23，即q2q60，解得q2，或q3(舍去)，ana5qn52n52n6，a1a2an(2n1)，a1a2an2524232n62，由a1a2ana1a2an，可知2n5252，由2n52，可求得n的最大值为12，而当n13时，2825213，所以n的最大值
3、为12.答案124(2013新课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_解析由已知解得a13，d，那么nSnn2a1d，由于函数f(x)在x处取得极小值也是最小值，因而检验n6时，6S648，而n7时，7S749.答案49考题分析高考对本内容的考查主要有：(1)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题(2)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法(3)数列与函数、不等式的综合问题.1数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于anbn的前n项和，
4、其中an是等差数列，bn是等比数列；(3)裂项法：求an的前n项和时，若能将an拆分为anbnbn1，则a1a2anb1bn1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法其主要用于求组合数列的和这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S1，S2，S3，的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归纳法给出证明易错点：对于Sn不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求Sn.例如对于数列an：a11，a23，a32，an2an1an，可证其满足an6an，在求和时，依次6项求和，再求S
5、n.2数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.热点一可转为等差数列、等比数列的数列问题【例1】 已知数列an满足a11，a23，an23an12an(nN*)(1)证明：数列an1an是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3
6、)若数列bn满足4b114b214bn1(an1)bn(nN*)，证明bn是等差数列(1)证明因为an23an12an，所以an2an12(an1an)因为a11，a23，a2a120，所以2(nN*)，所以an1an是以a2a12为首项，2为公比的等比数列(2)解由(1)，得an1an2n(nN*)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1(nN*)(3)证明因为4b114b214bn1(an1)bn，所以4(b1b2bn)n2nbn，所以2(b1b2bn)nnbn同理2(b1b2bn1)(n1)(n1)bn1，得(n1)bn1nbn20同理nbn2(n1
7、)bn120，得nbn22nbn1nbn0，即bn22bn1bn0，所以2bn1bn2bn(nN*)，所以bn是等差数列规律方法 按定义证明an成等差(比)数列，可以考虑改证它的等价定义，即2an1anan2(aanan2)【训练1】 在数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0，q1)(1)求证：数列an1an为等比数列；(2)若a6，a3，a9成等差数列，问对任意的nN*，an3，an，an6是否成等差数列？说明理由解(1)由an1(1q)anqan1(n2)，得an1anq(anan1)又a2a11，q0，所以an1an成等比数列(2)由(1)得an1anqn1
8、(q1)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1qn2qn3q111.因为2a3a6a9，所以a3a6a9a3，即q5q2q2q8，因为q0，所以q311q6.又因为anan3(q31)，an6an(1q6)所以anan3an6an，即2anan3an6.所以，对任意的nN*，an3，an，an6成等差数列热点二数列与恒成立问题【例2】 (2013泰州调研)已知数列an满足a11，a21，当n3，nN*时，.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在kN*，使得nk时，不等式Sn(21)an84对任意实数0,1恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由解(1)当n3时
9、，nN*时，3，.当n2时，是常数列n2时，2，an2n5.an(2)Sn当n1时，不等式Sn(21)an84可化为，不满足条件当n2时，Sn(21)an84可化为2(2n1)n26n50.令f()2(2n1)n26n5，由已知得，f()0对于0,1恒成立，当且仅当化简得，解得，n1或n5.满足条件的k存在，k的最小值为5.规律方法 数列通项公式的还原方法比较多样，可以构造特殊数列，也可以立足于运算、归纳，最后补充证明【训练2】 (2013广东卷)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解
10、2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)解当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2.(3)证明111，所以对一切正整数n，有.热点三数列中的不等关系【例3】 (2012南师附中模拟)如果无穷数列an满足下列条件：an1；存在实数M，使得anM，其中nN*，那么我们称数列an为数列(1)设数列bn的通项为bn5n2n，且是数列，求M的取值范围；(2)设cn是各项为
11、正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3，S3，证明：数列Sn是数列；(3)设数列dn是各项均为正整数的数列，求证：dndn1.(1)解bn1bn52n，当n3，bn1bn0，故数列bn单调递减；当n1,2时，bn1bn0，即b1b2b3，则数列bn中的最大项是b37，所以M7.(2)证明cn是各项正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3，S3，设其公比为q0，c3.整理得6q2q10，解得q，q(舍去)c11，cn，Sn22，对任意的nN*，有22Sn1，且Sn2，故Sn是数列(3)证明假设存在正整数k使得dkdk1成立，有数列dn的各项均为正整数，可得dkdk11，即dk1dk1.因为dk1，
12、所以dk22dk1dk2(dk1)dkdk2，由dk22dk1dk及dkdk1得dk22dk1dk1dk1，故dk2dk11.因为dk2，所以dk32dk2dk12(dk11)dk1dk12dk3，由此类推，可得dkmdkm(mN*)又存在M，使dkM，mM，使dkm0，这与数列dn的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意nN*，都有dkdk1成立规律方法 不等式证明是数列问题中的常见题型，一般方法是利用不等式证明的常规方法，如综合法、分析法等直接证明方法，也可以应用反证法等间接证明方法【训练3】 (2013苏中三市调研)已知，是方程x2x10的两个根，且.数列an，bn满足a11，a2，an2an1an，bnan1an(nN*)(1)求b2a2的值；(2)证明：数列bn是等比数列；(3)设c11，c21，cn2cn1cn(nN*)，证明：当n3时，an(1)n1(cn2cn)解因为，是方程x2x10的两个根，所以1，1，所以21.(1)由b2a3a2a1a2a21a22a2，得b2a22.(2)因为，又b1a2a10，所以bn
