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1、初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉函数）一组数心入，入称为是模陀的既约剩余系，如果对任意的，（勺胪）=1且对于任意的心，若的）=,则有且仅有一个是負对模叨的剩余,称为欧拉（的W。并定义恋）丸2的中和嗨互质的数的个数，亦）数。就是，聊一1这是数论中的非常重要的一个函数，显然與1）=1，而对于心1,宰曲与険互素的数的个数，比如说芒是素数，贝响处）1引理：定理1：（欧拉（；可用容斥定理来证（证明略）。）定理）设血初=i则中阿三1血品険）分析与解答：要证，我们得设法找出疑吻个用相乘,由恋）个数我们想到=i从而叫叫厲冏也是与12的中与轉互质的血嗨）的个数:叫宀和，由于的）枕互质的烫阁个数，且两两
2、余数不一样，故旳.s三叫叫叫間三中阿Qmodm），而（伍I圧夙就）啊）=故中刚三1（站琬）讥熬）证明：取模叨的一个既约剩余系纵叽扎畸，考虑叽卫乞，由于总与欣互质,故珂（12仍与叨互质，且有吨珂（vgJW，于是对每个壬都能找到唯一的一个1ct（7）1（珂）-匸瓦亦曲）=鸟.（mod阀-1/-1-1.,為.）=1j-i.胪三l（mod牌）故=l（modm）证毕这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。定理2：（费尔马（m小定理）对于质数歹及任意整数負有中三曲2设戸为质数，若总是戸的倍数，则三三遇。如。若总不是戸的倍数，则S）T由引理及欧拉定理得血）
3、*7沖三如轴），.”-购。勅护三咖窗，由此即得。定理，推论：设歹为质数，圧是与芒互质的任一整数，贝三1亦如定理3：（威尔逊（s定理）设歹为质数，则9叫T亦2）。分析与解答受欧拉定理的影响，我们也找mJ个数，然后来对应乘法。，在证明：对于（）i,在兀2兀心-1）兀中，必然有一个数除以歹余，这是因为x,2x,2，则Xi/#-】与2十2中有一对满足要求。一般情形下，设是朋的一个标准分解，上面已经证明，对每个戸存在整数吗必使得刃*阳阴且山+心（日2C，而由中国剩余定理，同余式X有解,同余式giSmSE有解7。现不难验证解符合问题中的要求：因刃*必，故刃卞g故x+尹三氏（mod町。于是又由知“+歹三聲+”血品对）。二12）注：此题的论证表现了中国剩余定理最为基本的作用：将一个关于任意正整数挖的问题，化为挖为素数幂的问题，而后者往往是比较好处理的。
