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1、专题05 函数的单调性与最值【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质. 3.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或求函数值大小，是高考的热点及重点 4.常与函数的图象及其他性质交汇命题 5.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现. 【热点题型】题型一 考查函数的单调性例1探讨函数f(x)x(k0)的单调性【提分秘籍】 1函数的单调区间是其定义域的子集2由函数单调性的定义可知，若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则当x1x2时，f(x1)f(x2)3一个函数在不同的区间可以有不同的
2、单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接4两函数f(x)、g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)的单调性与其正负有关，与f(x)是否为0有关，切不可盲目类比5.判断或证明函数的单调性的两种方法(1)利用定义的基本步骤是：(2)利用导数的基本步骤是：【举一反三】下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是()Aylog2x By Cyx Dyx【热点题型】题型二 求函数的单调区间例2设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是()A(，0 B0,1)C1，) D1,0【举一反三】设函数yf(x)在(
3、，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|.当k时，函数fk(x)的单调递增区间为()A(，0) B(0，)C(，1) D(1，)【热点题型】题型三 由函数的单调性求参数的范围【例3】(1)定义在R上的偶函数f(x)在(0，)上是增函数，则()Af(3)f(4)f()Bf()f(4)f(3)Cf(3)f()f(4)Df(4)f()f(3)(2)已知函数f(x)，若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_【举一反三】已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，求实数a的取值范围【热点题型】题型四
4、函数的最值问题（换元法）例4、已知函数ysin2xasin x的最大值为2，求a的值【举一反三】求yx函数的值域：题型五 函数的最值问题（数形结合法）例5、用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)min4x1，x4，x8的最大值是_【举一反三】函数y的值域为_【高考风向标】 1（2014北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ayex Byx3Cyln x Dy|x|【答案】B【解析】由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.2（2014湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x) Bf(x)x21Cf(x)x3 D
5、f(x)2x3（2014江苏卷）已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数(2)若关于x的不等式mf(x)ex m1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)a(x3x0)成立试比较ea1与ae1的大小，并证明你的结论 4（2014四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合：对于函数(x)，存在一个正数M，使得函数(x)的值域包含于区间M，M例如，当1(x)x3，2(x)sin x时，1(x)A，2(x)B.现有如下命题：设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)A”的
6、充要条件是“bR，aD，f(a)b”；若函数f(x)B，则f(x)有最大值和最小值；若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)A，g(x)B，则f(x)g(x)/B；若函数f(x)aln(x2)(x2，aR)有最大值，则f(x)B.其中的真命题有_(写出所有真命题的序5（2014四川卷）已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.6（2013北京卷）函数f(x)的值域为_7（2013北京卷）下列函数中
7、，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 Dylg |x|8（2013新课标全国卷 若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)9（2013新课标全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f (x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)010（2013四川卷）已知函数f(x)其中a是实数设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图像上的两点，且x1x2.(1)指出函数
8、f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x20，证明：x2x11；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围11（2013四川卷）设函数f(x)(aR，e为自然对数的底数)若存在b0，1使f(f(b)b成立，则a的取值范围是()A1，e B1，1eCe，1e D0，1以g(x)在0，1上为增函数，值域为g(0)，g(1)，即1，e，从而a的取值范围是1，e【随堂巩固】1下列函数中既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是()AyBylg|x|Cy2xDyx22下列函数中，值域是(0，)的是()Ay By(x(0，)Cy(xN) Dy3已
9、知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)4已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2都有0成立，则实数a的取值范围为()A(，2) B.C(，2 D.5已知实数a0，且a1，函数f(x)loga |x|在(，0)上是减函数，函数g(x)ax，则下列选项正确的是()Ag(3)g(2)g(4) Bg(3)g(4)g(2)Cg(4)g (3)g(2) Dg(2)g(3)g(4)6已知函数f(x)则“2a0”是“函数f(x)在R上单调递增”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充
10、分也不必要条件7已知函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意xR，都有ff(x)2x3，则f(3)的值是()A3 B7 C9 D128函数f(x)|x2a|在区间1,1上的最大值M(a)的最小值是_9对于定义在区间D上的函数f(x)，若满足对x1，x2D且x10，则f(x)的定义域是_；(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_13已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围14已知函数f(x) ax，其中a0.(1)若2f(1)f (1)，求a的值；(2)证明：当a1时，函数f(x)在区间0，)上为单调减函数15已知函数g(x)1，h(x)，x(3，a，其中a为常数且a0，令函数f(x)g(x)h(x)(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a时，求函数f(x)的值域
