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1、题 目： 实数的完备性及其应用 姓 名： * 学 号： 200704010133 系 别： 数学与信息科学系 专 业： 数学与应用数学 年级班级： 2007级数应（二）班 指导教师： * 2011年 5 月 10日毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版.同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；
2、同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅.本毕业论文内容不涉及国家机密.论文题目: 实数的完备性及其应用作者单位：*作者签名： * 2011年 5 月 10 日 目 录摘要 1引言 31.实数的完备性 42. 实数完备性的证明 43.实数完备性的应用9结束语 12参考文献 13致谢 14实数的完备性及其应用 实数的完备性及其应用摘 要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性,因此有多个实数集的完备性基本定理,包含六个实数集完备性基本定理.本文通过证明这六个基本定理的等价性,来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述,让我
3、们获得了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.关键词：完备性；反证法；等价性Completeness of the system of real numbers and applications Abstract：Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerab
4、le fundamental theorems about it. It contains six basic theorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it, and makes us acquire more recognition and understanding.Key Words: Completeness; Proof by
5、 contradiction; Equivalence引言众所周知,数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性,可微性以及可积性）,所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限,不仅与数列本身的结构有关,而且也与数列所在数集有关.如果在有理数集Q上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如,单调有界的有理数列就不存在极限,因为它的极限是e,是无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的,是实数集的优点,是有别于有理数集的重要特征.因此,将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析
6、中占据着重要的位置.1.实数集的完备性定理1 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.定理2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛定理3 (区间套定理）设为一区间套：1.2.则存在唯一一点.定理4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即中每一点都含于中至少一个开区间内则在H中必存在有限个开区间,它们构成的一个有限开覆盖定理5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）定理6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要, 恒有（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基
7、本列）2.实数集完备性的证明定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 证 我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下届的数集必有下确界可类似证明。 由数学分析可知任何一个实数都可以表示成下列形式.其中表示的整数部分,表示的非负小数部分.我们将表示成无限小数的形式：=其中,的每一个数字都是0,1,2,9中的一个,若是有限小数,则在后面接上无限个0.这称为实 数的无限小数表示.注意无限小数与无限小数是相等的,为了表示的唯一性,我们约定在的无限小数表示中不出现后者.这样任何一个实数集合S都可以由一个确定的无限小数的集合来表示： 设数集S有上界,则可令S中元素的整数部分
8、的最大者为（一定存在,否者的话,S就不可能有上界）,并记显然不是空集,并且对于任意,只要,就有.再考察数集中元素的无限小数表示中第一位小数的数字,令它们中最大的为,并记显然也不是空集,并且对于任意,只要,就有.如此下去,考察数集中元素的无限小数表示中第n位小数的数字,令它们中的最大者为,并记显然也不是空集,并且对于任意,只要,就有.不断地做下去,我们得到一列非空数集,和一列数满足, .令下面我们分两步证明就是数集S的上确界. 设,则或者存在整数,使得,或者对于任何整数,有. 若,便有；若,由的定义并逐个比,较与的整数部分及每一位小数,即知=.所以对任意的,有,即是数集S的上界. 对于任意给定的
9、,只要将自然数取得充分大,便有. 取,则与的整数部分及前位小数是相同的,所以,即,所以任何小于的数都不是数集S的上界.即证是数集S的上确界.同理可证明非空有下界数集必有下确界.定理2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛证 不防设数列单调递减且有下界,根据确界原理有必有下确界,满足： 取N=,：所以于是即证同理可证单调递增有上界数列也有极限定理3 (区间套定理）设为一区间套：1. 2.则存在唯一一点证 由有则为单调递增数列且有上界,为单调递减数列,且有下界,则由单调有界定理有,的极限都存在 不妨设则= = + = 则既是的上确界,又是的下确界,所以若还有一点也满足则由上可知则有有所以即证定
10、理4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即中每一点都含于中至少一个开区间内则在中必存在有限个开区间,它们构成的一个有限开覆盖证 反证法.假设区间a,b不能被H中有限个开区间覆盖.将等分成两个子区间,则这两个子区间中至少有一个不可以被H中有限个开区间覆盖,记这个区间为,且再将等分成两个子区间,同样至少有一个子区间不可以被H中有限个开区间覆盖,记这个区间为,且如此进行下去,得到一个闭区间列,它满足,且则是区间套,且每一个闭区间都不可以由H中有限个开区间来覆盖.有区间套定理得,存在唯一的一点,由于H是的一个开覆盖,所以存在开区间,使得则当n充分大时有,这说明可以由H中的一个开区间覆盖,矛盾
11、.即证.定理5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）证 反证法.设A为有界集.即.设A无聚点.则对于任意的,不为A的聚点,故必有开区间,使得,且中至多只含有A的一个点,这样开区间族覆盖了,由有限覆盖定理得,存在,当然也覆盖A,再有的构造知至多含有A的有限个点,因此A为有限集,这与A为无限集矛盾.即证.推论：（致密性定理）有界数列比含有收敛子列.证 设数列有界,即.若为有限集,则数列必有无穷项相同,把这些相同的项依下标从小到大排列得到的一个收敛子列；若A=为无限集,由聚点定理得,A必有一个据点,由据点定义可得一收敛
12、子列收敛于.即证.定理6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要, 恒有（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列）证 先正必要性.设收敛于,则对于任意的,有 于是再证充分性.先证数列有界.取,则由定理知令则对一切n,成立,由致密性定理,在中必有收敛子列：由定理得,只要，恒有在上式中令,当k充分大时,满足再令于是得到.即证.要证明实数完备性定理的等价性,还必须由定理6证明出定理1.用柯西收敛准则证明确界原理.证 只用柯西准则证明上确界,下确界同理可证.设A有上界,我们来证它有上确界.不妨找A的一个上界M.先在集合A中取一点,记为,从开始以下列方式取点：在,
13、M中取A中的一点记作,一定可以做到,因为本身是A中的点.如是再三,可取得A中的点列,下面来证明它是柯西序列.若从某一项开始数列恒为一个值,则必定是柯西序列.对于非此情况的数列,由取法可知,数列随着n趋近于无穷,对于任意的,从某项起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于,所以点列是柯西序列.（注意,如果在之后有有限个差值大于,则把最后的一项定为；若有无限项差值大于,那么若干个就比,M还长,不可能出现.）由此可知,无论何种情况,点列都是柯西序列,所以收敛到一点c.从点列的选法来看,c是A的一个上界,因为它大于等于A中所有的元素.同时,对于任意的e0,由收敛序列的性质可知存在A中的一点使得c+ec-e由此证明了c就是A的上确界.以上定理即证明了实数完备性定理的等价性.3. 实数完备性的应用实数的完备性在闭区间上连续函数性质的证明以及积分学中都有很广泛的应用我们将通过一系列例题阐述实数完备性定理得应用.认识实数完备性定理得重要作用和地位.例1 证明 若函数在闭区间上连续,则它在上有界.证 反证法.若在无界,
