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1、2019学年人教版高中数学选修精品资料回扣验收特训（三） 空间向量与立体几何1已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cosa，b()ABC D解析：选C由已知，得a(1，)，b(1,0，)，cosa，b2已知直线l过定点A(2,3,1)，且n(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A BC D解析：选A(2,0，1)，|，则点P到直线l的距离为 3如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则()A2 B2C1 D1解析：选C()2cos，2cos(18060)2cos 12021故选C4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC
2、，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A BC D解析：选A以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设CACBa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E，G，(0，a,1)点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2，(2，2,2)，平面ABD，为平面ABD的一个法向量又cos，A1B与平面ABD所成角的正弦值为5如图，已知矩形ABC
3、D与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为，且cos ，则()A1 BC D解析：选C建立如图所示空间直角坐标系，设AB1，BC，则F(，0,0)，M，B(0,1,0)，D(0,0，)，(0，1，)cos ，解得，所以6如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为()A BC D解析：选B如图，连接OO1，根据题意，OO1底面ABC，则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
4、AO1OC1，OBO1B1，AO1O1B1O1，OC1OBO，平面AB1O1平面BC1O平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为O1到平面BC1O的距离O(0，0,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，(，0,0)，(0,1,2)，(0,0,2)，设n(x，y，z)为平面BC1O的法向量，则n0，x0又n0，y2z0，可取n(0,2，1)点O1到平面BC1O的距离记为d，则d平面AB1O1与平面BC1O间的距离为7如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_解析：不妨设CB1，则B(0,0,1)，A(2
5、,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)(0,2，1)，(2,2,1)cos，答案：8如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)设Q(1，t,0)(0ta)P(0,0，z)则(1，t，z)，(1，at,0)由PQQD，得1t(at)0，即t2at10由题意知方程t2at10只一解a240，a2，这时t10，a答案：29在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BDC1的余弦值是_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，C1
6、(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，则(1,0,1)，(1,0，1)，(1，1,0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(1，1，1)，同理可求得平面BC1D的一个法向量为m(1，1,1)，则cosm，n，所以二面角A1BDC1的余弦值为答案：10如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1
7、,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2，4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面ABA1的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为由|cos |，得sin 因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为11如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA，点M，N分别为AB和BC的中点(
8、1)证明：MN平面AACC；(2)若二面角AMNC为直二面角，求的值解：(1)证明：连接AB，AC，则AB与AB交于点M，所以M为AB的中点又N为BC的中点，所以MNAC又MN平面AACC，AC平面AACC，所以MN平面AACC(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示设AA1，则ABAC，于是A(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，B(，0,1)，C(0，1)，所以M，N故，设m(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，由得可取m(1，1，)设n(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，由得可取n(3，1，
9、)因为AMNC为直二面角，所以mn0即3(1)(1)20，解得12四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1由题设，知BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形
10、(2)法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin |cos，n|法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E是AB的中点，F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1,0,0)，G(0,1,0)，(1,1,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1,1,0)sin |cos，n|
