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1、直线方向向量的简单应用双流县双流中学 杜江涛人教版全日制普通高级中学教科书数学第二册（上）（必修）【教材分析】1本节教材的地位与作用人教版必修教材第七章直线和圆的第二节，以及第三节后的阅读材料分别对直线的方向向量和法向量作了介绍。主要研究向量及其运算性质在求直线的方程和判断两直线的位置关系中的应用。作为对教材内容的挖掘和学生思维的拓展，我们安排了这节专题课。它是在学生已经知道直线的方向向量的概念，并且掌握了性质：“若直线的方程为，则向量是直线的一个方向向量.” ，以及会根据直线的方向向量的定义求任意直线的方向向量之后之后进行学习的。这节课集中体现了数形结合、转化与化归等数学思想。学好这一节，学
2、生将会进一步体会向量的工具性地位，通过实施跨越章节的沟通、协调、衔接、认识，对于进一步完善学生的知识结构，发展学生的思维和创新能力等，都具有极为重要的意义2教学重点 （1）进一步理解并掌握直线的方向向量的定义和性质；（2）体会向量的工具性3教学难点学生虽然已经具有了求直线方程和判断直线位置关系的一些基本方法。但是，通过向量为工具描述直线的方向，以及在具体问题中如何利用已知条件刻画所求直线的方向向量，学生都有较大的困难。所以这节课的难点是理解方向向量的本质和具体问题中方向向量的表示4教学关键本节课突破难点的关键是：（1）理解方向向量与倾斜角、斜率一样，都是刻画直线方向的量，三者可以转化；（2）引
3、导学生复习向量的常用运算性质【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标：1知识和技能目标（1）进一步理解并掌握直线的方向向量的定义和性质；（2）进一步明确“设而不求”的方法在求直线方程中的应用2过程和方法目标（1）进一步体验解析几何的中，“数形结合” 的重要性；（2）感悟向量的工具性地位，为后期的学习打下基础.3情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论，知识
4、是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用本节课在帮助学生回顾直线的方向向量的定义和相关性质后，引导学生理解直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系。通过热身训练和例题的分析，进而探索出方向向量在求直线的斜率，进而求直线的方程，和判断直线位置关系中的应用；最后，上升到对法向量的探索上。整堂课，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学【学法指导】对于求直线方程和判断直线的位置关系，以及向量的基础知识，学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是如何将直线与向量通过方向向量这一重
5、经式具联系起来？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用【教学过程】本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入基础训练，感知方法典例讲解，提升思维归纳小结，思维拓展”四个环节进行组织一、 创 设 情 境，铺 垫 导 入我们知道，向量是联系代数和几何的重要工具，而解析几何正是数形结合的产物。现在我们已经比较系统的研究了直线的方程和两直线的位置关系，回过头来再来看一看它们和向量有哪些联系，实施跨越章节的沟通、协调、衔接、认识或许可使你的思维得到一定程度的进展，创新能力得到一定程度的增强。设计意图：“问
6、起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂通过教师的讲解，使学生体会到向量与解析几何本身和不解之缘，从而了解研究方向向量的必要性，以揭示课题.（一）直线方向向量的定义：直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量.（二）常用性质：1、直线的任意两个方向向量互相_；2、若，分别是直线上的不同两点，则向量是直线的一个方向向量；3、若直线的方程为，则向量是直线的一个方向向量，特别地，若直线的斜率为，则向量是直线的一个方向向量；若直线的斜率不存在，则向量是直线的一个方向向量；4、若直线的方程为，则向量或_是直线的一个方向向量.设计意图：教师提问，让学生作答，一方
7、面为学生梳理知识，为后续的学习作准备；另一方面，通过个别学生的回答，发现学生中存在的问题，及时采取补救措施。二、基 础 训 练，感 知 方 法（1）直线的方向向量为，则直线的斜率为_；倾斜角为_.解：设的斜率为，倾斜角为，则是的一个方向向量，而，则.,即，设计意图：引导进一步理解直线的方向向量的概念，理解直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系。（2）已知直线的方向向量为，直线的方向向量，若直线经过点，且，则直线的方程为_解法一：经过，且方向向量，的方程为又的方向向量为，且即的方程为解法二：在直线上任取一点，则也为直线的一个方向向量.由，得，即设计意图：解法一学生易于想到，体现了转化处化归的思想；同
8、时，要引导学生理解并应用解法二这种“设而不求”的方法，这种方法比较简洁，也体现了解析几何的本质。（3）已知直线，直线，则直线与的夹角为_错解：因为直线的一个方向向量为；直线的一个方向向量为正解：设计意图：通过本题可以暴露出学生以下的错误：一是有学生可能要用夹角公式去算，然而，这是行不通的，这时，学生可能想到用数形结合的方法，利用图形的直观求解；二是如上的错解一样，学生利用方向向量来求解时，容易算出夹角这一错解。通过对错解的分析，得出应加“绝对值”，以保证夹角是锐角或直角。从错解中得出一些体验，不断的培养学生思维的批判性。三、典 例 讲 解，提 升 思 维例1、已知两条直线， ，当且仅当为何值时
9、，与有以下关系？（1）相交 （2）平行 （3）垂直解：直线的一个方向向量为；直线的一个方向向量为.（1）若与相交，则 ，则解之，且（2）错解：若与平行，则，则解之，或正解：若与平行，则，即解之，或经检验：当时，两直线重合 （3）错解：若与垂直，则，即解之，一般地，设两条直线、的方向向量分别为、，则：（1）当与不平行时_；（2）_；（3）_.设计意图：本题是直线方向向量在判断直线位置关系中的应用。一方面通过本题的探究，利用数形结合的方法，学生更易于理解两直线平行、垂直、相交、重合的充要条件，归纳出如上的一般性结论；另一方面，通过在（2）问中，学生不进行检验，暴露出学生对方向向量本质的理解不到位，
10、从而进一步强调，直线的方向向量仅仅是描述直线方向的量，两直线的方向向量相同是两直线平行的必要而不充分条件。接下来，如何检验？再引发学生的思考和讨论，将课堂气氛逐步推向高潮，为下一个例题的探究打下基础。例2、已知三角形三顶点坐标分别为，试求：（1）边上的中线所在直线的方程； （2）的内角平分线所在直线的方程；（3）的外角平分线所在直线的方程；解：（1）由于，那么边上的中线的方向向量为，设直线上任意一点，则也是直线的一个方向向量边上的中线所在直线的方程为：整理得 说明：在这里，寻找方向向量是解题的关键，同时，这里有学生会将方向向量转化为斜率，利用点斜式来完成。（2）由于，则内角平分线的方向向量为
11、设直线上任意一点，则也是直线的一个方向向量的内角平分线所在直线的方程为：整理得 （3）设外角平分线为，在直线上任取一点，则是直线的一个方向向量由内角平分线与外角平分线互相垂直知，它们的方向向量也相互垂直，即的外角平分线所在直线的方程为：整理得 设计意图：本题是直线方向向量在求直线方程中的应用。本题可用的方法很多，我们通过向量法来解决这一系列的问题，旨在让学生体验向量的工具性。为此，在这一系列的问题中的探究中，充分调动学生的积极性，努力探索所求直线的方向向量是解题的关键。特别是（2）问中，角平分线的方向向量，要从向量的加法，菱形的对角线平分对角等，逐步启发学生。在这一过程中，学生可能用到其它的一
12、些方法，教师要在对这些解法中存在的问题予以分析，指出其中的不足，肯定一些好的解法。四、归 纳 小 结，思 维 拓 展（一）课堂小结：1、方向向量与倾斜角、斜率一样，都在刻画直线的倾斜程度，由于每条直线都有方向向量，因此，方向向量在解题中更具有一般性；2、体会数形结合和转化与化归的数学思想；3、注意体会向量的工具性，在解题中灵活选用解题方法.设计意图：通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力（二）思维拓展：如果向量与直线垂直，则称向量为直线的法向量，如图：若直线的方程为，则其法向量为能用法向量处理以上问题吗？设计意图：通过由方向向量到法向量的拓展，让学
13、生体会法向量也是刻画直线方向的量，与方向向量一样，在求直线的倾斜角、斜率，直线方程，以及判断直线位置关系等方面都有重要的应用。这一方面，给了优生自我发展的空间，另一方面也为在立体几何的研究打下基础。（三）课后作业：1、已知实数，且，向量，试求：（1）经过原点，以为方向向量的直线的方程；（2）经过定点，以为方向向量的直线的方程.2、已知，直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为_3、已知平面上直线的方向向量，点和点在上的射影分别为和，则，其中等于（ ）（A） （B） （C） （D）4、在直角坐标系平面上，向量，在直线上的射影长度相等，且直线的倾斜角为锐角，则的斜率为多少？5、利用平面向量的算法求点
14、到直线的距离（）？设计意图：课外作业有利于学生进一步理解方向向量，同时也利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节【教学设计说明】向量知识进入中学数学领域，为我们思考、处理和解决许多数学问题提供了新的思路和方法，而利用方向向量来研究直线的斜率、方程和位置关系应该说别有一番风味。在近几年的高考中它作为命题的一个新载体也经常出现，因此对它作一个深入的研究是十分必要的。然而方向向量在解析几何中的运用相当广泛，特别是在圆锥曲线中。决非一两节课所能讲清的。本节课旨在让学生体验、感悟向量的工具性。初步了解直线的方向向量在研究直线的方程，直线的位置关系等的运用。整堂课以“什么是方向向量？方向向量有哪些性质？如何在具体问题中运用方向向量？”为线索展开1教学中从传统方法和向量方法的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念2关于教学过程，对于本节课的重点：以方向向量为载体，体会向量的工具性，必须让学生通过课堂上的参与就能掌握对于难点：难点是理解方向向量的本质和具体问题中方向向量的表示，层层递进逐步提出，教师
