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1、例5 （ 1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列a。， ai， a* ，an，满足,a*a* _?.anan_2=2anj(n _ 2)且求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的执占之一八、八 、-、作差求和法 m WW.w.k.s.5.u.c.o例1在数列 an中,1n(n 1)求通项公式an1 1 a4 _as 3 _4，1 1 “L1111an 1- an则a a1,2a3 = a?n n 11231,an_an_11逐项相加得:an1=a11.故 an=4 -1n 1nnn解：原
2、递推式可化为:二、作商求和法2 2例2设数列 an是首项为1的正项数列，且(n +1)an41 nan +an昂an =0 (n=1,2,3)，则它的通项公式是 an= (2000年高考15题)解：原递推式可化为：(n 1)an 1 - nan(an :1 an)=0an 1a. 1 a. 0，a.nn 1则 *2 = 1 *3 = 2 印3=J,ann - 1逐项相乘得：an，即 an=-a2 a 23 a34ann3 nn三、换元法4131例3已知数列 an，其中a1,a2 ，且当n3时，a. -a.(a.-a.工)，求通项公式a. (1986年高考文科第八393题改编).解：设=an -
3、an4，原递推式可化为：bn二lbn?bn是一个等比数列，二玄鸟-玄厂13-4),公比为-.故g /二I1)二-(- = (- / .故3939339 3313 11an - an =( )n.由逐差法可得：an =-( )n.32 2 3例4已知数列 a.，其中a1= 1,a?=2，且当n3时，a. - 2a.a.二1，求通项公式a.。解 由a. - 2a.ja.二1 得:(a.- a.- (a. /a. 4) = 1，令 bn- a. - a.，则上式为bn jbn- 1，因此bn是一个等差数列，d =a2-a1= 1，公差为1.故 bn 二 n .。由于 b1b2 亠 亠bn 4、=a2
4、 - a1a? - a?亠 亠 a. - a. 2时,anak，求通项公式an。an J11 1 1解 将an 两边取倒数得：-=2，这说明丄是一个等差数列，首项是-1 ,公差为2,所以2an十1anan4ana1 =1(n -1) 2 =2n -1,1 卩 an 1an2n 1六、取对数法2例7若数列 an中，a1 =3且an + = an （n是正整数），则它的通项公式是 an=（ 2002年上海高考题）解由题意知an 0，将an1二an2两边取对数得lgan1=2lgan，即lg an1= 2，所以数列lgan是以Iga1 = lg3为首项，公比Igann -1n 丄为2的等比数列，lg
5、an “ga,=lg32 ，即an = 32 .七、平方（开方）法例8若数列an中，a1 =2且an =j3 + an （2）,求它的通项公式是 an.解 将a 0,所以 a* = 3n 1。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下:1、an彳.=Aan - B （ A、B为常数）型，可化为 an =A（ an ）的形式.S9若数列an中，a1=1, 5是数列an的前项之和，且厂孟5工1），求数列 an的通项公式是an.S1递推式Sn dn可变形为3+4SnSn 申=3丄4Sn(1)设（1）11式可化为=3(亠.JSn
6、1Sn(2)比较（1）式与（2）式的系数可得1则有Sn 1-2 = 3(丄-2)。故数列Sn2是以丄 2 = 3为首项，3为公比的等比SnS1数列。丄 2=3 3n-3n。所以SnSn1n3 -1当 n _2，an- Sn- Sn A3n -23nJ-2n-2332n -8 3n 12(n =1)(n -2)卩 n数列 an的通项公式是an2 3n、32n - 8 3n +122、 an Aan B Cn（A、B、C为常数，下同）型，可化为 an Cn = A（a Cn）的形式.例10在数列 an中，a1 =-1, an1 =2an 4 3n J,求通项公式an。解：原递推式可化为：an 3n
7、 =2n 3心）比较系数得 =-4，式即是：an 1 -4 3n =2（an -4 3n）.则数列an -4 3n4是一个等比数列，其首项 a1 -4 31，公比是2. an -4 3n=5 -2n4即 an -4 3n4 -5 -2nJ.3、 an 2 = A an 1 B an型，可化为 an .2 an 1 = （A ） （an an）的形式。例11在数列an中，a1 - -1,a2 =2，当nN , a*2 =5an计- 6a“求通项公式an.解：式可化为：an 2，an 1 = （5 ，）（an 1，an ）比较系数得 =-3或 =-2，不妨取 =-2.式可化为：an 2 - 2an
8、 3（an 1 -2）则an1-2an是一个等比数列，首项 a2a! =2-2 （-1） =4，公比为3.- an 1 -2an =4 3n4.利用上题结果有：nVn 4an =4 3-5 2.3例 12 在数列 an中，印=一，2an_an1=6n _32 -求通项公式an.解式可化为：2（an 一 mn 辺）=an丁 “ （n -1） - $、2比较系数可得:扎1 =-6，工辽-9， 式为2bn = bn二bn是一个等比数列，首项916 =玄1 - 6n ，公比为一22二 bn =|(捫1即 an -6n 9 = 9 )n九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出a1,
9、a2,a3,，然后猜想出满足递推式的一个通项公式数学归纳法证明猜想是正确的。an ,最后用例13在各项均为正数的数列an中，8为数列an的前n项和，Sn = 1（an+丄），求其通项公式。2an求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如an .2 = pan 1 qan（p,q是常数）的数列形如=m, a2= m2na p pa1 nq a,是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an ,x2 = px q 若有二异根:,则可令a ： n c 2 n （c 1C是待定常数）若有二重根二：，则可令an =（c * n（1c,是待定常数）再利用a1 =m%a尸m ,可求得 g,Q，进而求得 a
10、n .其特征方程为例1 已知数列an满足a = 2,a2 =3, an 2 =3an 2an(nN*)，求数列an的通项an .解：其特征方程为 x2 =3x-2，解得 x1 =1,x2 = 2，令 an 二 c1 1n c2 2n,由阡心“2, 得 ” la2 =G +4g =3=11 ,q 一 2n-1an = 1 2例 2.已知数列an满足 a =1,a2 =2,4an .2 =4an j -an(n，N*)，求数列an的通项 an .解：其特征方程为4x? =4x_1,解得Xi = X2，令nQ丄21a1=(G 亠q)1由2，1 a2 =(G 2c2)2、43n2a亍、形如an .2二
11、A% B的数列Can D对于数列an 2canDB (是T数且 C = O,AD BC0其特征方程为黒变形为CW -八9若有二异根,，则可令也二an+-an 一:（其中c是待定常数），代入a1,a2的值可求得c值.这样数列aan是首项为-P Iaiai公比为c的等比数列，于是这样可求得an若有二重根:=-，则可令1 c （其中c是待定常数），代入a1, a2的值可求得c值. an1是首项为 an此方法又称不动点法.这样数列公差为c的等差数列，于是这样可求得an .例3.已知数列an满足印=2,an也M （n _ 2）,求数列an的通项an . 细二1解：其特征方程为X =x 22x 1，化简得2x0，解得x1，令需“討4 1由印=2,得a-，可得c = -，5 3数列討是以为首项，以a -113! 13-1为公比的等比数列，汨，-an3n -(-1)n3n - (-1)n例4.已知数列an满足印=2,an I2a 1(n N )，求数列an的通项an .4an 62x 1c1解:其特征方程为荷，即 4x wo，解得xn?3由6=2,得a2 ，求得c =1
