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1、第二讲角平分线模型的构造3月角平分线(1) 定义：如图2-1，如果ZAOB=ZBOC,那么Z A0C=2ZA0B=2ZB0C,像OB这样，从一个角的顶点 出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这 个角的角平分线(2) 角平分线的性质定理 如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个 角分成两个相等的角， 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相 等(3) 角平分线的判定定理 在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重 合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这 个角的平分线， 在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个 角的平分线上，与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的 四大基本模
2、型，已知P是ZMON平分线上一点，若PA丄OM于点A,如图2-2(a)，可以过P点作 PB丄ON于点B,则PB=PA.可记为“图中有角平分 线，可向两边作垂线”(2)若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)， 可以在ON上截取OB=OA,连接PB，构造OPBs OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看, 对称以后关系现”若API OP于点P,如图2-2(c),可以延长AP 交ON于点B,构造AOB是等腰三角形，P是底边 AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一 试试看”若过P点作PQON交OM于点Q,如图2-2(d), 可以构造厶POQ是等腰三角形，可记为“角平分线 十平行线，
3、等腰三角形必呈现”例1如图2-3(a),在厶ABC中，ZC=90。AD平分ZCAB, BC=6cm, BD=4cm,那么点 D到直线AB的距离是()cm.如图 2-3(b)，已知：Z1=Z2,Z3=Z4, 求证：AP平分ZBAC.例2如图 2-4(a), RtAABC 中，ZACB=90, CD丄AB, 垂足为D. AF平分ZCAB，交CD于点E,交CB于 点F求证：CE= CF.将图2-4(a)中的 ADE沿AB向右平移到AA, D, E，的位置，使点E,落在BC边上，其它条件不变， 如图2-4(b)所示.试猜想：BE与CF有怎样的数 量关系？请证明你的结论(2)如图2-5(d)所示，人。是
4、4ABC的内角平分线， 其它条件不变，试比较PC PB与AC-AB的大小, 并说明理由例4如图2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC中，ZA=90, AB二AC，BD 平分ZABC，CE丄BD，垂足为 点E，求证：BD=2CE.例3阅读下列学习材料：如图2-7(a)，BD、CE分别是 ABC的外角平分 线，过点A作AD 上 BD、AE丄CE，垂足分别为D、E， 连接DE.求证：DEBC, DE=1 (AB+BC+AC)；2如图2-5(a)所示，OP平分ZMON，A为OM上一点， C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB =OA， 连接 BC(如图 2-5(b)，易证 AOCABOC.请根
5、据上面的学习材料，解答下列各题：如图2-5(c)所示，在 ABC中，人。是4BAC的 外角平分线，P是AD 上异于点A的任意一点，试 比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.交BC于点D,过点B作BE丄AD，垂足为E,求证:AD=DE如图2-7(b), BD、CE分别是 ABC的内角平分 线，其它条件不变；(3) 如图2-7(c), BD ABC的内角平分线，CEABC的外角平分线，其它条件不变，则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC 还平行吗？它与 ABC三边又有怎样的数量关 系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证 明。例6如图 2-9(a)，AB二AC，BD，
6、CD 分别平分ZABC，ZACB.问：(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形？ 过D点作EFBC，如图2-9(b)，交AB于点E， 交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形？(3) 如图2-9(c)，若将题中的 ABC改为不等边三 角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直 接写出线段EF与BE、CF有什么关系？(4) 如图2-9(d), BD平分ZABC, CD平分外角ZACG. DEBC交AB于点E,交AC于点F线段EF与BE、 CF 有什么关系？并说明理由变式如图2-8，在 ABC中，AB=3AC, ZBAC的平分线(5) 如图 2-9(e), BD、CD 为外角 ZCBM.ZBCN
7、的 平分线，DEBC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？例7如图2-10(a)所示，已知 ABC中，AC=BC，ZC=90, AD 平分 ZCAB,求证：AB=ACD变式1如图2-11所示，已知 ABC中，AB二AC,ZA=108, BD 平分ZABC.求证：BC二AB + CD.例8如图2-13(a)，OP是ZMON的平分线，请你利用该 图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角 形，请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问 题：如图2-13(b),在AABC中，ZACB是直角，Z B=60, AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线，
8、AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD之间的 数量关系；变式2如图 2-12，已知ABC 中，AB=AC,ZA=IOO, BD平分ZABC,求证：BC二BD+AD.(2)如图2-13(c),在AABC中，如果ZACB不是直 角，而(D中的其他条件不变，请问，你在(1)中 所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成 立，请说明理由牛刀小试如图2-14 (a),在厶ABC中，ZABC与ZACB 的角平分线相交于点F,过点F作DFBC，交AB 于点D,交AC于点E,若BD+CE=9，则线段DE之长为(角ZABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP，若ZBPC=40。，求ZCAP 的度数.(2)
9、如图 2-14(b), 在ABC 中，BD、CD 分别平分ZABC 和ZACB, DEAB, FDAC. , BC=6,求ADEF的周长，2.已知：如图 2-15,ZBAD=ZCAD, ABAC, CD丄AD于点是BC中点. 求证：DH= 1 (AB-AC).25.已知：如图2-18，在四边形中,BCAB, AD二CD,BD 平分ZABC.求证：ZA+ZC=1803、已知如图2-16,四边形ABCD中，ZB+ = D=180,BC=CD.求证：AC平分ZBAD.6在平行四边形ABCD中，ZBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.在图2-19(a)中证明CE = CF；4.如图2-17, AABC的外角/ACD的平分线CP与内并证明若ZABC=90, G是EF的中点(如图2-19(b),直接写出ZBDG的度数；(3)若ZABC二 120, FGCE, FG=CE,分别连接DB、DG(如图 2-19 (c),求ZBDG 的度数.7.已知：如图 2-20，在ODC 中，ZD 一 90, EC 是ZDCO的角平分线，且OE= CE,过点E作EF丄 OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系， 8.已知：如图2-21，在四边形ABCD中，AB+BC = CD+DA,ZABC的外角角平分线与ZCDA的外角平 分线交于点P, 求证：ZAPB二ZCPD.
