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1、教育资源1.5.2二项式系数的性质及应用i 掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别.（重点）2借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值.（难 点）基础初探教材整理1杨辉三角的特点阅读教材P33,完成下列问题.1 每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等,.2 图中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的 和（如图1-5-1）.3 图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增 4.第1行为1= 2，第2行的两数之和为2,第3行的三数之和为Z 3 35 65711117918
2、22 18 9图 1-5-2【解析】 由1,3,5,7,9,可知它们成等差数列，所以an= 2n- 1.【答案】 2n- 12. 如图1-5-3，由二项式系数构成的杨辉三角中，第 ：亍从左到右第第 7行的各数之和为 艺（如图1-5-1）.图 1-5-11. 如图1-5-2是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为14与第15个数之比为2 : 3.11 11 2 113 3114 641图 1-5-3【解析】设第n行从左到右第14与第15个数之比为2 3,1314则 3Cn = 2Cn ,3n!2n!即=13! n13 !14! n 14 !解得n = 34.【答案】34教材整理2二项式
3、系数的性质阅读教材P33P34,完成下列问题.（a+b）n展开式的二项式系数cn,出，cn有如下性质:（1）d 沪；m _m 1_m（2）Cn + Cn = Cn+1 ；（3）当 rn1 时，cn号 时，cn+10(k*).32 017|a0|+ |a1|+ |a2|+ |a3|+ + |a2 017Ia0 a1 + a2 a3 + a2 017=1. 解决二项式系数和问题思维流程.2. “赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x= 1可得所有项系数之和，令x=1可得偶次项系数之和与 奇
4、次项系数之和的差.再练一题2.若(3x 1)7 = a7x7 + a6X6+ ax+ a。，求：(1) a1 + a2+ a7；(2) a1 + a3 + a5 + a7 ；(3) a0 + a2 + a4 + a6.【解】(1)令 x= 0,则 a0= 1；令 x= 1，得 a7 + a6+ + a1 + a= 27= 128，所以 a1 + a2 + + a7= 129.(2) 令 x= 1，得一a7 + a6 a5 + a4 a3 + a2 a1+ a0= ( 4)7，由一得 2(a1 + a3 + a5 + a7) = 128 ( 4)，ai + a3 + a5 + a7= 8 256
5、.由 + 得 2(ao + a2 + a4 + a6)= 128+ (4), ao + a2 + a4 + a6 8 128.整除问题利用二项式定理证明：当nN时，32n+ 2 - 8n 9能被64整除.【精彩点拨】当n 1时，32x1+ 2 8X 1 9 64能被64整除；当n2时,将32n+2 8n 9化为(8 + 1)n+1 8n9,按二项式定理展开，并提出因式64,若 另一个因式为正整数，则能被 64整除.【自主解答】因为n 1时，32r)+2 8n 9 64能被64整除；当 n2 时，32n+2 8n 9 9n+1 8n 9(8 + 1)n+1 8n 98n+1 + Cn+1 8n+
6、 C2+1 8n1 + Cn+1 8+ 1 8n 9 82(8n1 + C1+1 8n 2+ C2+1 8n-3+ cS+1)，而(8n 1 + C1+1 8n 2+ C2+1 8n 3 + Cn + 1) *，所以 32n+ 2 8n 9 能被 64 整除.1. 利用二项式证明多项式的整除问题.关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式.若f(x), g(x)，h(x), r(x)均为多项式，贝U:(1) f(x) g(x) h(x)? f(x)被 g(x)整除.(2) f(x) g(x) h(x) + r(x)? r(x)为 g(x)除 f(x)后得的余式.2. 求
7、余数问题的处理方法.(1) 解决这类问题，必须构造一个与题目有关的二项式.(2) 用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和(或差)的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 (或者 是前面)的几项即可.(3) 要注意余数的范围，a = c + b,这式子中b为余数，b 0, r), r是除数, 利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数，要注意转换为正数.再练一题3 .若n为正奇数，则7n+ d 71 +庄72+_+1 7被9除所得的余数是.【导学号：29440028】【解析】 原式二(7 + 1)n-cn= 8n- 1 = (9- 1)n- 1 =
8、 9n-Cn1+ C2 9n-2 + Cn-1 9(- 1)n-1 + (- 1)n- 1.n 为奇数，(一1)n 1 = -2=-9+ 7,则余数为 7.【答案】7探究共研型l*-J?探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的 系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】 对称性，因为Cm= Cri-m,也可以从f(r) = U的图象中得到.探究2计算护，并说明你得到的结论.Cn【提示】Cnn-k+ 1cn-1=kn+ 1 当kv时,记1，说明二项式系数逐渐增大;Cnn+ 1同理，当k时，二项式系数逐渐减小.探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】 当n是偶数时，
9、中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的nTn + 1两项CTn, CTn相等，且同时取得最大值.卜例已知f(x)= (3x2+ 3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1) 求展开式中二项式系数最大的项;(2) 求展开式中系数最大的项.【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中 间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x, y的系数均考虑进去，包括“ + ”“ ”号.【自主解答】令x= 1,则二项式各项系数的和为f(1) = (1 + 3)n= 4n,又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4n 2n= 992.,2n)2 2n 992= 0，(2n+ 31)(2n 32) = 0，2n= 31(舍去)或 2n = 32,5= 5.(1) 由于n = 5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们 分别是2T3= c5(x3)3(3x2
