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1、第一章行列式1.1定义n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2in,规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用i1i2in表示，i1i2in等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。1.2性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即211。证明如下：设排列为aLaedLbmbC1LCn,作m次相邻对换后，变成aLaiabbLbmLCn,再作m1次相邻对换后，变成a1Lalbb1LbGLcn，共经过2m1次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1，要么减少1，相当于211,也就是排列必改变改变奇偶2m1
2、性，2m1次相邻对换后21111,故原命题成立。n阶行列式的5大性质性质1:转置（行与列顺次互换）其值不变。性质2:互换任意两行（列）其值变号。性质3:任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质4:任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质5:把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不变。行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。忙注|对性质4的重要拓展：设n阶同型矩阵，Aa,;B岛ABaij说，而行列式只是就某一列分解，所以，AB应当是2n个行列式之和，即ABAB。忆注I韦达定理的一般形式为:nanXn1aniXn2an2XLcnnXi
3、i1an1nXiXjij1an2nXii1.nao1ana0;an；an、行列式定义a11a12La1na21a22La2nLLLLan1an2Lannjn)如氏?anjn其中逆序数jlj2Ljnj1后面的j1小的数的个数j2后面比j2小的数的个数Ljn1后面比jn1小的数的n1L21a1na2n1Lan12.三角形行列式a、a2Lana0L00a22La2na21a22L0LLOLLLLL00Lannan1an2Lann3ll322Lann0L0a1na11a12La1n0LNa2na21a22N0LNLLLNLLan1Lann1annan10L0n12ana2n1Lan1二、行列式性质和展
4、开定理会熟练运用行列式性质，进行行列式计算展开定理司人互咒2LaMnika1jA1ka2jA2kanjAnkjkA三、重要公式设A是n阶方阵，则1. ata|A1A1*n1.AA.IkAknA5.ABA|B，其中B也是n阶方阵6.设B为m阶方阵，则ABmn1AB7.范德蒙行列式11L1X1X2LXn2212X1X2LXnXLLLL1jinn1n11n1X1X2LXnxj有关结论1.对于Ann,BnnA0/|A0AB/|AB2.A为n阶可逆矩阵A0rAnA可逆AX0只有惟一零解AXb有惟一解（克莱姆法则）行变A列变E（A与E等价）A的行（列）向量组线性无关A的n个特征值i0,i1,2,L,nA可
5、写成若干个初等矩阵的乘积r（AB）r（B）atA是正定矩阵2. A是Rn中某两组基之间的过渡矩阵A为n阶不可逆矩阵A0AX0有非零解r（A）n0是A的特征值AA若A为门阶矩阵，“i1,2n）为A的n个特征值，则Aii1若AB，则AB行列式的基本计算方法：1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。2. 按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此,务求熟练掌握。典型题：一
6、. 数字行列式的计算.1. 利用行列式的定义.2. 利用行列式的基本性质.3. 一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式二. 行列式的代数余子式的相关计算.三. AB类型成抽象行列式的计算.1.与向量成分块矩阵结合2与特征值、特征向量结合.4与代数余子式结合.范德蒙行列式与克莱姆法则第二章矩阵一内容概要1矩阵的概念注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，A才有意义，但是AA;此外当a是长方形矩阵时A没有意义。2矩阵的运算及其运算律（1）矩阵的相
7、等；（2）矩阵的线性运算：a）矩阵的和：A+B注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；b）矩阵的数乘（或称数乘矩阵）kAk（aij）mnkaijmn；c）一般地，若A,A2,At是同型矩阵，贝UkiAik2AktAt有意义，称为矩阵Ai,A2,At的一个线性运算；3矩阵的转置将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵AT或A，称为矩阵A的转置。4矩阵的乘法矩阵乘法的定义:AmnBnsCijms注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而bjb2jCijabijai2b2jainbnja”ai2ai4bnj5关于矩阵运算的运算律要注意的问题：1）一般地ABBA其原因是a）AB与BA不
8、一定同时有意义；b）即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一致；例如Aaj32,Bbjt23，则AB与BA都有意义，但其阶数不同；3223c）即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=BA，则称A与B是可以交换的1111例如A,B，则AB与BA都有意义，但是ABBA11112）矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若ABAC,A0,推不出BC,例如若AX0,A0,推不出X03）若AB有意义，则ABTBtAt3几种特殊类型的矩阵（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；（5）对称矩阵：若Aan0,30aji,即AAT；（6）反
9、对称矩阵：若Aaijnn,aij-aji,即A-AT;关于反对称矩阵常用的结论：1）A的主对角线上的元素全是0;2）若A是奇数阶行列式，则A0；（7）正交矩阵：若A满足：AAtAtAE或AtA1,则称A是正交矩阵。关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：12TTATT1AT；n1n（8）阶梯形矩阵若A满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）；关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初
10、等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4分块矩阵当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；分块矩阵运算的原则：（1）分块矩阵的加法：若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致；（2）分块矩阵的乘法：若AB,其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价(1) 初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。(2) 初等变换初等行变换、初等列变换；(3)
11、 初等变换与初等矩阵之间的关系对矩阵A做一次初等行变换成为B,则B=PA(其中P是与行变换相对应的初等矩阵)举例说明:A122120121322311311(2)r:31B122100122则BPA即B013210231131001131对于矩阵A作一次初等列变换成为B,则B=AP(其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵)122102举例说明A231%(2)c2211B131111102122120B211231010111131001(4) 矩阵A与B等价如果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价，用式子表示就是：BP；PtiRAQ1Q2Qs，其中Pi，Qj是初等矩阵个矩阵a都与矩阵E0r0等
12、价，其中r是矩阵A的秩，即存在0初等矩阵P,Qj使得：PRiPAQ1Q2QsEr0006关于n阶矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的定义：设A是一个n阶矩阵，若有n阶方阵B使得AB=E或BA=E则称矩阵A是可逆的;（2）n阶方阵A可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得AB=E或BA=E（即定义）；2）用A的行列式A来描述：A0;3）用矩阵的秩来描述:r（A）n这里n是矩阵A的阶数；4）用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关;5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解；6）用矩阵A的特征值来描述:A的特征值全不0;（3）逆矩阵的性质1）若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；
13、2）若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且AB1B1A1；11T11T1113)A1A,At(A1)T,kAk1A1,A1|A1,An1A1111A0A100A0B10A141,10B0B1B0A10B10（4）逆矩阵的求法特别是1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练,对于三阶矩阵；初等变换求逆矩阵的方法：A|E一系列初等行变换E|B，则BA1B就是所求的逆矩2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：AB=E，或BA=E,此时的阵；3）如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；（5）关于伴随矩阵1）伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；*2）伴随矩阵常用的性质对于任意的万阵A均有此伴随矩阵A使得AAA*AAE一，11*一I当A。时，AA，当A。时：AAlAl对于一般地方阵A,.*其伴随矩阵A的秩为:*r(A)若r(A)若r(A)若r(A)当A0时，A，当A0时A(6) 关于矩阵的秩阶子式(如果存在的话)全等于。，那么1)矩阵秩的定义：在矩阵A中，有一个不等于0的r阶子
