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1、有趣的正方形数（定） 鄞州区高桥镇中心小学 柳惠军整理【教学内容】人教版数学六年级上册第107页数学广角第一课时【教学目标】 1、在观察、讨论、操作、质疑中，发现和认识正方形数及其特征； 2、在学习活动中感悟到形中有数，数中有形的数形结合思想，体会到研究数学的方法； 3、激发学习数学的兴趣，享受数学学习的过程，提高学生的数学思维能力。【教学重点】 认识正方形数及其特征【教学难点】 引导学生发现正方形数的特征规律【教具准备】 教师：课件，板贴用的纸片 学生：练习纸【教学过程】一、实物引入，激活经验1、课件出示书房中书橱图片2、教师提问：看到这个书橱，你会想到哪些数学问题？预设学生的回答有：生1：
2、这个书橱一共有多少格？生2：这个书橱能放多少本书？生3：里面有多少个正方形？生4：里面有多少种大小不同的正方形？3、 教师从实物抽象出正方形：是呀，书橱中有哪几种大小不同的正方形？4、 请学生上台指一指，随着学生的回答，教师课件同步出示。5、 教师：看到这些图形，你想到用什么数来表示？你还能用一个怎样的算式来表示？为什么这样？教师板书： 11=1 22=4 33=9 44=16 55=25 1 4 9 16 256、继续抽象成点阵图。教师：如果用一个点表示1个小正方形，后面每个图里要摆几个点？生：4个；9个；16个，25个。6、 教师课件出示4个点阵图。【利用常见物品触发学生的生活经验与数学经
3、验的关联，引导学生学会发现问题并提出问题。其实，会提出问题是一种非常重要的基本活动经验。在简单解决问题的过程中，经历实物图形点阵的数学抽象过程。】二、 初次探究，获得经验师：猜猜看，下一个点阵图该怎么摆？生1:这些点组成的图形都是正方形，分别 是1x1，2x2，3x3，4x4，5x5，所以接下来一个应该摆成6x6的正方形。(大部分学生赞同）2、 教师追问：还有其他想法吗？预设有学生举手生1：（边指边说)第一个点阵图加上3个点 就是第二个图，生2：第二个图加上外面的5个点就 是第三个图，生3：第三个图加上外面的7个点就是第四个图，第四个图加上外面的9个点就是五个图。所以，第6个图应该是在5X5的
4、图上加一行一列（外面再加一层）。3、师:谁听明白了？谁也来说说？请用手势表示观察的方式。4、教师请学生在图上边指边说变化过程，像这样的话，谁也能说说？请学生在每个小组，以同桌为单位，互相说一说。5、 师:结合学生回答，教师课件动态演示变化过程。6、 师：刚才我们想到了第六幅点阵图的摆法。那么，能否用算式表示每一个点阵图之间的联系呢？学生列式：1+3=4；4+5=9；9+7=16；16+9= 25。6、师:还有其他想法吗？如果都从第一幅图开始想起呢？学生立刻想到以下算式：1+3=4；1+3+5=9；1+3+5+7=16；1+3+5+7+9=25。7、师:像1、4、9、16,25这些数量的物品都可
5、以摆成一个实心正方形，它们是一种“有形状”的数，能猜出它们的名字吗？生:正方形数。8、师板书课题后，指着55的点阵图提问：如果在外面再加这样的一层，想一想：会有几个点？该是一个怎样的正方形数？哎，教师出示6x6的点阵图，是不是这样的一个点阵图？你想的跟老师一样吗？你们也能象刚才一样连一连，用算式记下找出的规律吗？【点阵图的观察，由浅入深，循序渐进，符合竽生思维的进程。让学生尝试用算式表达图形之问的联系，不仅沟通了图形与图形的关系，更重要的是实现了算式与图形的沟通。在学生的算式仅仅局限于表示前后两个图形之间的关系时，教师巧妙引导，让学生学会“从头想起”。在此基础上，正方形数概念的揭示水到渠成。学
6、习方法的小结，意在让学生感悟到“梳理和概括”就是一种经验的积累】三、运用经验，深入研究1、发学习单上66的点子图:连一连，你能发现什么规律？把你的想法用算式表示出来，并在小组中交流。2、生独立研究正方形点阵图中的其他规律。3、教师巡视指导，注意收集各种信息，以便反馈。4、学生小组反馈交流。(学生在展示台上呈现自己的点阵图并作介绍）预设：生1:可以斜着把点阵连起来的.大家能猜出我的算式吗？生2：我也是这样观察的，1个点、2个点、3 个点，一直到6个点,然后又回到1个点,所以算式是1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36。生3：我只用一根线就把这些点连起来了像个蜗牛壳，算式是6+5+5+4
7、+4+3+3+2+2+1+1=36注：此时教师可请生3带着同学一起在图上找到算式中的每个数，并追问算式的特征。生4：我的方法像个“回”字,用算式表示是 4+12+20=36。注：此时教师可请学生检查这个算式是否正确，并说发现。生5:每个加数依次增加8，也就是说每一圈的点都比里面一圈多8个。3、师：图中有数，数中有形，同学们的规察 能力太棒了，能给每一种观察方法取个名字吗？课件出示:预设生1：第一种方法我觉得可以叫“折线法”；生2：我想叫“发散法”，以为他由一个点发散开去，算式中的数也是从开始依次有规律地增加。生3：第二种方法我想叫“斜线法”，以为内它是写着分割这个正方形的；生4：第二种方法也可
8、以先对角分开，再对称地分。大家看，他的算式也是对称地。所以我能觉得可以叫“对称分割法”。注意：此时师可赞扬：你真厉害！很有水平，掌声送给他。生5：第三种方法，刚才那个同学说像蜗牛壳，我想到“螺旋法”。生6：都可以，不过蜗牛法跟好玩。生7：第4种方法就是“回字法”；生8：我觉得也可以叫“中心扩散法”，因为算式中的数据在8个8个地增加。【这个环节的探索更为开放，为学生的个性化的学习提供平台。学生在实践、分享中，逐步积累操作性经验和思维行经验。】教师随学生回答板书上面这些算式。教师：在组内，挑你喜欢的一种方法说给你的同桌听。4、 师：（1） 看到1+3+5+7+9+11这样的算式时，你会想到什么？（
9、2） 如果加到13，你会想到一个怎样的正方形，和是多少？（3） 减少一个加数，1+3+5+7呢？（4） 看到1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1，你可以怎样快速找到它是哪个正方形数？（5） 如果从1一直加到10再加回到1，想象一下，它是哪个正方形数？ 【以上学习过程充分体现了数形结合的思想：学生交流点阵图的观察方法，让其他学生根据展示的图示思考可以用怎样的算式表征点的排列规律；给每一种观察方法取名，引导学生再次发现图形和算式的内在关联；在帮助学生知识结构化时，再次厘清“算式数据点阵图正方形数”的思维过程。以上互动使学生自然而然地发现形中有数，数中藏形，数和形得以有机结合。同时，整个学习环
10、节意在让学生领悟到用“联系”的观点去思考问问题，发现问题是一种重要的学习方法。】 四、巩固深化，积累经验。1、看算式想图形，再说说它是哪个正方形数？1+3+5+7（在学生回答的基础上追问：这个正方形数还可以用怎样的算式表示）；1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1；5+4+4+3+3+2+2+1+1；2、解决课开始学生提出的“书橱里一共有几个正方形”问题。先数一数，这部分有几个大小不同的正方形，说说你有什么发现？9+4+1，让学生回答想法，在结合课件演示揭示每个数据的含义，然后拓展到全部，最后得出：只要把里面所有的正方形数相加就是所有正方形的总个数了。五、小结与拓展1、梳理
11、：今天我们认识了什么数？你有什么新收获、新想法？ （注意充分应用板书，打通数字与算式与图形之间的联系，教师需要临场发挥）2、重温历史（课件播放）：我们今天研究的正方形数，被称为“有形状的数”形数。公元前四世纪，古希腊人喜欢用石子、沙子记数和计算。在这一时期，对“形数”的研究达到了一个顶峰，其中，毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出。他们研究数的概念是，喜欢用沙滩上的小石子摆成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数。像这样的数形结合的方法能帮助我们解决很多问题。【此环节不仅继续突出数和形的关联，还继续关注新旧知识的关联，把以前所学的数正方形个数的方法与本节课所研究的正方形数进行关联，促使学生
12、主动形成一个与“正方形数”相关的知识环。再现古人研究数学的方法，及其学生进一步求知的欲望，以期获得活动经验的巩固和深化。】五、板书设计 正方形数 12=11 =1 =1 22 =22 =1+3 =1+2+1 32 =33 =1+3+5 =1+2+3+2+1 42=44 =1+3+5+7 =1+2+3+4+3+2+152=55 =1+3+5+7+9 =1+2+3+4+5+4+3+2+1 62=66 =1+3+5+7+9+11 =1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 =6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=4+12+20 六、教后反思 上完课后，学生是开心的，脸上是“原来如此的表情”，
13、嘴里说着“我会找到更多的形数”；听课的老师说“我像学生一样学了一遍，真的非常有趣；我自己认为也达到了预设的教学目标。 1、重构教材，明晰学习之道忌“急”。 上述案例中，教材因为文本的局限性，直接提供了点阵图的分割方法，让学生根据教材中的划分来写出相应的算式，此时学生的思维就处于被动状态，他可能只是机械地做着，并不明白为什么要这样去做，这个任务有什么意义和价值等。其实，单单就“点阵图的划分方法”而言，其中就蕴含着很多值得学生在活动中积累的经验。因此，教学过程中有必要安排环节让学生有充分的时间去自己探究。实践也证明，这个环节能充分展示学生不同的思维水平，创新的火花不时迸发，尤其是在“给每种划分方法
14、取名字”环节，更是充满童趣,学生用丰富的想象力把每种观察方法描述得生动形象，印象深刻而不会遗忘。由此想到，重构教材时，要巧妙利用现有资源，设计合理的学习进程，让学生有时间、有空间去慢慢琢磨，通过自己的思考去发现奥妙，享受思考的乐趣。会想问题，会讨论交流， 进而能逐渐积累起一种思维的方法和经验，也就是明晰学习之道。2、 重构教材，滋生思考之圈忌“散”。 教学不可东拼西凑，教师有责任在组织教材、安排课程时，搭建一个个通道,力求联结新旧知识，帮助学生滋生“思考圈”，促进整体顿悟。上述教学案例中，笔者以点阵的观察研究为切人口，抓住“数形结合”这一核心思想重构 教材，形成一个有效的整体板块学习圈。“正方形”和“有规律的加法算式求和”对于学生来说都是旧知，这两个知识是不相关的，但“正方形 数”却与两者有着密切的联系，对这三者关系的研究和梳理就能帮助学生架构起新旧知识的网络，积累一些研究数学的方法和策略。同时，不考虑三角形数和长方形数
